Share PDF

Search documents:
  Report this document  
    Download as PDF   
      Share on Facebook

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

เรขาคณิตวิเคราะห์

และภาคตัดกรวย

ในเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวย เป็นบทที่เอาไปประยุกต์ใช้ต่อในหลายๆเรื่องที่เกี รูปทรงต่างๆในวิชาต่างๆทั้ง ฟิสิกส์ หรือคณิตศาสตร์ น้องๆหลายคนมีปัญหากับบทนี้นะครับว่าค่อ เนื่องจากสูตรเยอะ ประยุกต์ค่อนข้างมาก และท าข้อสอบไม่ทันถ้าตั้งใจเรียนซะหน่อยปัญหาเหล่านี้พี่มั่นใจว่า น่าจะหมดไปนะครับ

 

 

 

 

 

1.1)

ระยะห่างระหว่างจุดสองจ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2)

จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสอ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3)

จุดที่แบ่งระยะทางเป็นระยะm:n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. จุด

 

1.4)

จุดตัดเส้นมัธยฐานสามเหล

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.1)

ความชัน

 

 

 

 

 

 

2. เส้นตรง

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2)

สมการเส้นตรง

 

 

เรขาคณิตวิเคราะห

 

 

 

 

 

 

3. วงกลม

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

และภาคตัวกรวย

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3)

ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้น

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. วงรี

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4)

ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ข

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. ไฮเพอร์โบลา

6. พาราโบลา

1

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

1. จุด

การเขียนชื่อจุดนิยมใช้ตัวอักษรใหญ่P,จุดเช่นQ และอาจเขียนกจุด ากับด้วยคู่อันดับในพิกัดฉาก ใน รูปP(x,y) เช่นQ(2,-4) ใช้แทนจุดที่ชื่อQ และ มีพิกัดเป็น(2,-4)

1.1 ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนระยะทางระหว่างจุดP กับQ คือPQ หรือPQ

Q(x2,y2)

PQ  (x2  x1 )2  (y2  y1 )2

P(x1,y1)

1.2 จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด

Q(x2,y2)

R( x1  x2 , y1  y2 )

2 2

P(x1,y1)

1.3 จุดที่แบ่งระยะทางเป็นระยะm:n

 

 

m

 

 

 

Q(x2,y2)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R(

mx1

nx2

,

my1 ny2

)

P(x1,y1)

 

 

 

 

 

m

n

 

m n

 

 

 

2

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ก าหนดพิกัดจุดP(1,-2) และ Q(-5,4) ก.ระยะ PQ เท่ากับเท่าใด

ข.ให้หาจุดกึ่งกลางของPQ

ค.ให้หาพิกัดจุดR ที่ท าให้PR : RQ 2 : 3

1.4 จุดตัดของเส้นมัธยฐานสามเหลี่ยม

3

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ก าหนดสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่A(2,8), B(6,12), C(-2,-4) ถ้าจุดP และ Q อยู่บน ด้านA B และ BC ตามล าดับ โดยมีอัตราส่วนAP : PB 1: 3และ BQ : BC 3 : 4 ให้หาค่าของPQ

ตัวอย่าง ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด

ก.จุดA(10,5), B(3,2), C(6,-5) เป็นจุดมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ข.จุดD(1,2), E(-3,10), F(4,-4) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

ค.จุดA(-2,3), B(-6,1), C(-10,-1) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

4

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ให้หาจุดP บนแกน X ซึ่งอยู่ห่างจากจุดP1 (1,-2) และP2 (3,5) เป็นระยะเท่ากัน

ตัวอย่าง ถ้า(m,n) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมรูปหนึ่งซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่(4,5), (-4,7) และ (4,1) แล้ว ค่าm-n เท่ากับเท่าใด

2. เส้นตรง

2.1 ความชัน(slope; m) ของเส้นตรง

ความชันของเส้นตรงคือ อัตราส่วนระหว่างค่าy ที่เปลี่ยนแปลงไป ต่อคx ที่าเปลี่ยนแปลงไป ใช้ สัญลักษณ์m โดยค่าm อาจะเป็นบวก หรือลบ หรือเป็นศูนย์ก็ได้

-ถ้าm>0 แสดงว่าเส้นตรงนี้เฉียงขึ้นทางขวา

-ถ้าm<0 แสดงว่า เส้นตรงนี้เฉียงลงทางขวา

-ถ้าm=0 แสดงว่า เป็นเส้นนอนขนานแกนx

-และส าหรับเส้นตั้งขนานกับแกนy นั้นm หาค่าไม่ได้(เป็นอนันต์)

5

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ข้อควรรู้

2.2 สมการของเส้นตรง

รูปทั่วไปที1่ ของสมการเส้นตรงคือAx+By+C = 0 ( โดยที่A,B,C เป็นจ านวนจริงใดๆ) รูปทั่วไ2ปที่ของสมการเส้นตรงในรูปy=mx+c โดย m คือความชัน และc คือระยะตัดแกนy

จากสมการทั่วไปที่1 และ 2 เราสามารถสรุปได้ว่า สมการรูปทั่วไปที่1ของเส้นตรงสามารถจัดให้อยู่ในลักษณะy   AB x  CB จึงท าให้ทราบว่า ค่า

ความชันm =  AB และระยะตัดแกนy c=  CB เสมอ

6

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ก าหนดพิกัดจุดP(1,3) และ Q(5,9)

ก ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด.P และ Q เท่ากับเท่าใด

ข.ให้หาสมการเส้นที่ตรงที่ผ่านจุดP และ Q

ตัวอย่าง ก าหนดพิกัดจุดP(1,3) และ Q(5,9) ให้หาสมการของเส้นตรงL ซึ่งตั้งฉากกับ เส้นตรงPQ และผ่านจุดกึ่งกลางของเส้นตรงPQ

2.3 ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง

สมการระยะห่างนี้มีการแทนค่าจุด(x1,y1) ลงในสมการเส้นตรงในรูปAx+By+C=0 ซึ่งจะสอดคล้อง กับความรู้พื้นฐานที่ว่า ถ้าแทนค่าแล้วได้เท่ากับ0 หมายถึงจุดๆนี้อยู่บนเส้นตรงพอดี จากสูตรก็จะได้ระยะทาง เท่ากับ0 ด้วย

7

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

2.4 ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานทั้งสองเส้น

ข้อสังเกต

ตัวอย่าง ก าหนดเส้นตรงL1 : 2x+3y-24 = 0 ก.ระยะทางจากจุดS(-2,5) ไปยังเส้นตรงL1 เท่ากับเท่าใด

ข.ให้หาสมการเส้นตรงที่อยู่ห่างจากL1 เป็นระยะ213 หน่วย

8

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ค.ให้หาจุดบนเส้นตรงL2 : 2x+y-6 = 0 ซึ่งอยู่ห่างจากL1 เป็นระยะ213 หน่วย

ตัวอย่าง ก าหนดสมการเส้นตรงL3 : 3x  y  23 และ L4 : 3x  3y 18 ก.เส้นตรงที่ขนานกับL3 จะต้องมีความชันเท่าใด

ข.มุมระหว่างL4 กับแกนx ที่เป็นมุมแหลม มีขนาดกี่องศา

9

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

3. วงกลม

วงกลม คือ“เซตของคู่อันดับที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง”เรียกจุดคงทีเป็นระยะเท่ากันนั้นว่าจุด ศูนย์กลาง(Center; C) และเรียกระยะทางนั้นว่ารัศมี(Radius; r)

สมการวงกลม

สมการของวงกลม ถูกสร้างขึ้นจากสมการระยะทางระหว่างจุดสองจุด โดยอาศัยหลักการว่า ระยะทาง จากจุด(x,y) ใดๆที่อยู่บนวงกลม ไปยังจุดศูนย์กลาง จะต้องมีค่าคงที่เท่ากับความยาวรัศมีเสมอ

x2  y2 2x 4y 10 0

ตัวอย่าง ให้หาส่วนประกอบต่างๆของรูปวงกลมที่มีสมการเป็น

10

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ข้อสังเกต

ตัวอย่าง ให้สมการวงกลมที่มีจุดศุนย์กลางอยู่ที่(1,-2) และผ่านจุด(2,1) และตอบในรูป Ax2+By2+Dx+Ey+F=0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจ านวนเต็ม

ตัวอย่าง ให้หาสมการทั่วไปของวงกลมที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ ก.มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่(3,4) และผ่านจุด(1,1)

2

2

2x

2y 8 0กับ

ข.ผ่านจุด(1,-5) และผ่านจุดตัดทั้งสองของวงกลมx  y

 

x2  y2 3x 3y 8 0

11

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ค.เส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่งมระหว่างจุดเชื่อ(1,1) กับ(2,2)

3.1 เส้นสัมผัสวงกลม

เส้นสัมผัสวงกลมคือ เส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น โดยเรียกจุดๆ นี้ว่าจ สัมผัส มีสมบัติทางเรขาคณิตอย่างหนึ่งของรูปวงกลมที่กล่าวว่า เส้นสัมผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรัศม สัมผัสนั้นเสมอ

ตัวอย่าง ให้หาความยาวของเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด(0,1) ไปยังจุดสัมผัสบนวงกลม

3x2+3y2+11x+15y = -9

12

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ให้หาสมการของเส้นตรง ที่สัมผัสวงกลมx2  y2 8 ที่จุด(2,2)

ตัวอย่าง ให้หาค่าk ที่ท าให้x2  y2 6x 8y k 0เป็นวงกลม

ตัวอย่าง เส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชันเท่ากับ4 3 และผ่านจุดศูนย์กลางวงกลม

x2  y2 4x 2y 1 0ถ้าเส้นตรงเส้นนี้ตัดกับวงกลมนี้ที่จุดA B และก าหนดจุดD(-1,-2) แล้ว พื้นที่ของสามเหลี่ยมABD เท่ากับเท่าใด

13

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

4. วงรี

วงรีคือ“เซตของคู่อันดับที่ ผลรวมของระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าเท่ากัน” เรียกจุดคงที่สอง จุดนั้นว่าจุดโฟกัส(F1, F2) และนอกจากนี้ระยะทางรวมซึ่งเป็นค่าคงที่นั้น จะมีค่าเท่ากับความยาวของแกน เอก (2a) พอดี

แกนเอก (Major Axis) คือเส้นแสดงความยาวของวงรี( V V ) ยาว 2a หน่วย และแกนโท (Minor

1 2

Axis) คือเส้นแสดงความกว้างของวงรี( B B ) ยาว 2b หน่วย โดยที่a > b เสมอ

1 2

ค่าa และ b เทียบได้กับรัศมีวง, แกลมนเอกและแกนโท เทียบได้กับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต่างกันตรงที่แนวนอนและแนวตั้งของวงรีจะยาวไม่เท่ากัน

สมการวงรี

เมื่อพิจารณารูปวงรีทีละด้าน จะมีลักษณะโค้งคล้ายรูปถ้วย ซึ่งแต่ละรูปนั้นจะมีจุดโฟกัส ด้วย และระยะโฟกัสc สามารถหาได้จากค่าa กับb โดยมีความสัมพันธ์กันในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้าน ซึ่งมี

a ยาวที่สุด นั่นคืc  อa2 b2

14

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ข้อควรรู้

ตัวอย่าง ให้สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่(2,1) มีจุดโฟกัสอยู่ที่(2,4) และจุดยอดอยู่ที่(2,-4) และ ตอบในรูปAx2 By2 Dx Ey F 0โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจ านวนเต็ม

7x2 16y2 28x 96y 60 0

ตัวอย่าง ให้หาส่วนประกอบต่างๆของรูปวงรีซึ่งมีสมการเป็น และตั้งฉากกับเส้นตรง3x+4y = 5

15

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ให้หาสมการรูปทั่วไปของวงรี ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ ก.จุดศูนย์กลางอยู่ที่(3,-1) แกนเอกขนานกับแกนy และยาว 8 หน่วย โดยแกนโทยาว6 หน่วย

ข.จุดยอดอยู่ที่(-4,2) และ (2,2) โดยแกนโทยาว 4 หน่วย

ค.จุดศูนย์กลางอยู่ที่(-2,1) มีจุดโฟกัสที่(-2,4) และผ่านจุด(-6,1)

4x2 9y2 48x 72y 144 0

ตัวอย่าง ให้หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงรี

16

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานที่ท45 กับแกนามุมx และผ่านจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี x2 3y2 4x 2 0

ANET50

2

2

72x 24y m 0 มีจุด

ถ้าk, l และ m เป็นจ านวนจริงที่ท าให้วงรีkx ly

ศูนย์กลางอยู่ที่จุด(4,3) และสัมผัสแกนy แล้ว ข้อใดต่อไปนี้ผิด ก.ความยาวแกนเอกเท่ากับ12 หน่วย ข.ความยาวแกนโทเท่ากับ8 หน่วย ค.ระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสทั้งสองเท4 ่5ากับหน่วย ง.จุด(2,6) อยู่บนวงรี

ANET 49 วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลาง อยู่ที่จุดศูนย์กลางของวงรีที่มีสมการเป็น 9x2 4y2 36x 24y 36 0 ถ้าวงกลมวงนี้สัมผัสกับเส้นตรงที่ผ่านจุด(1,3) และ (5,0) แล้วรัศมีของ วงกลมวงนี้เท่ากับเท่าใด

17

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

5. ไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลาคือ“เซตของคู่อันดับที่ ผลต่างของระยะทางไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าเท่ากัน” เรียกจุด คงที่สองจุดนั้นว่าจุดโฟกัส(F1,F2) และผลต่างระยะทางซึ่งเป็นค่าคงที่นั้น จะมีค่าเท่ากับความยาวของแกน ตามขวาง (2a) พอดี

แกนตามขวาง (Transversal Axis) V1 V2 ยาว 2a หน่วย และแกนสังยุค(Conjugate Axis) B1 B2

ยาว 2b หน่วย(โดย a กับb ยาวเท่าใดก็ได้) ใช้ประกอบกันในการสร้างเส้นก ากับ(Asymptote) 2 เส้น เพื่อ บังคับความกว้างของไฮเพอร์โบลา

สมการไฮเพอร์โบลา

18

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ไฮเพอร์โบลามุมฉากเอียง

ไฮเพอร์โบลาที่มีค่าa=b (กรอบสี่เหลี่ยมจัตุรัส)นั้น รูปวงรีในกรอบจะกลายเป็นวงกลม และเส้นก ากับ 2 เส้นตั้งฉากกันพอดี เรียกไฮเพอร์โบลาแบบนี้ว่าเป็นไฮเพอร์โบลามุมฉาก(Rectangular Hyperbola)

ข้อสังเกต

19

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ให้สร้างสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่(2,1) มีจุดโฟกัสที่(2,-4) และจุดยอดที่(2,4) และตอบในรูปAx2 By2 Dx Ey F 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจ านวนเต็ม

ตัวอย่าง ให้หาส่วนประกอบต่างๆของรูปไฮเพอร์โบลาที่มีสมการเป็นx2 5y2 10y 25 0

ตัวอย่าง ให้หาสมการทั่วไปของไฮเพอร์โบลา ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ ก.จุดศูนย์กลางอยู่ที่(-3,1) มีจุดยอดที่(2,1) และแกนสังยุคยาว6 หน่วย

20

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ข.จุดโฟกัสอยู่ที่(-1,-6) และ (-1,4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หน่วย

ตัวอย่าง ถ้าภาคตัดกรวยรูปหนึ่งมีสมการเป็น9x2 16y2 18x 64y 199 0 แล้วผมรวม ของระยะทางจาดจุกโฟกัสทั้งสองไปถึงเส้นตรง3x+4y = 8 เป็นเท่าใด

ตัวอย่าง ก าหนดไฮเพอร์โบลา9(x 1)2 4(y 2)2 36 ให้หาสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของ ระยะทางจากจุดใดๆบนวงรี ไปยังจุดที่ไฮเพอร์โบลาตัดแกนx ทั้งสองจุด เป็น8 หน่วย

ตัวอย่าง ก าหนดE แทนวงรี6x2 5y2 12x 20y 4 0 ให้หาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุด ศูนย์กลางร่วมกับE มีจุดยอดอยู่ที่เดียวกับจุดโฟกัสของE และมีความยาวแกนสังยุคเท่ากับความยาวแกนโท ของ E พอดี

21

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

PAT1 ก.ค.53 ก าหนดวงกลมรูปหนึ่งมีจุดปลายของเส้นผ่านศอยู่บนจุดศูนย์กลางและจุดโฟกัสด้าน หนึ่งของไฮเพอร์โบลา9x2 16y2 90x 64y 17 0 แล้ววงกลมดังกล่าวมีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปน

ANET 50

2

9y

2

32x

36y 164

0 ตัดแกนx ที่จุดA

ถ้าเส้นก ากับของไฮเพอร์โบลา16x

 

และ B แล้ว ระยะระหว่างA, B ยาวกี่หน่วย

2

2

100x

42y 404

0 แล้ว

PAT1มี.ค. 53 ก าหนดให้วงรีรูปหนึ่งมี สมการเป็น25x 21y

 

ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดโฟกัสทั้งสองของวงรีและ(3,1  ผ8)่านจุดมีสมการตรงกับข้อใดต่อไปนี้

ก.5y2 4x2 108y 32x 25 0 ข.3y2 2x2 68y 8x 15 0 ค. y2 4x2 2y 16x 19 0

ง. y2 7x2 2y 28x 28 0

22

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

6. พาราโบลา

พาราโบลา คือ“เซตของคู่อันดับที่มีระยะห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เท่ากับระยะไปยังเส้นตรงค หนึ่ง” เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่าจุดโฟกัส(Focus; F) เรียกเส้นตรงคงที่เส้นนั้นว่าไดเรกตริกซ์(Directrix; เส้น

บังคับ)

รูปกราฟที่ได้จะมีลักษณะเป็นเสงคล้ายถนโค้วย สองด้านสมมาตรกัน โดยเส้นสมมาตรจะผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับเส้นไดเรกตริกซ์ เรียกเส้นนี้ว่าแกน (Axis) ของพาราโบลา และจุกวกกลับของพาราโบลาจะ เรียกว่าจุดยอด(Vertex) อยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัสกับเส้นไดเรกตริกซ์พอดี(ตามนิยามที่ได้กล่าวข้างต้น)

สมการพาราโบลา

23

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ข้อสังเกต

ตัวอย่าง ให้หาสมการรูปทั่วไปของพาราโบลา ที่มีลักษณะดังนี้ ก.จุดยอดอยู่ที่(-2,3) และจุดโฟกัสอยู่ที่(5,3)

ข.จุดยอดอยู่ที่0 และผ่านจุด(-4,-6) โดยมีแกนx เป็นแกนสมมาตร

ค.จุดโฟกัสอยู่ที่(2,2) และมีสมการไดเรกตริกซ์เป็นx+2=0

24

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ง.ผ่านจุด(1,3), (9,1) และ (51,-2) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกนx

ตัวอย่าง คอร์ดที่เกิดจากเส้นตรง2x-y=8 ตัดกับพาราโบลาy2=8x มีความยาวเท่าใด

ตัวอย่าง ให้หาส่วนประกอบต่างๆของรูปพาราโบลาที่มีสมการเป็นx2 2x 2y 3 0

ตัวอย่าง ให้สร้างสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่(1,-2) และผ านจุด(2,1) โดยมีแกนสมมาตรแนวตั้ง และตอบในรูปAx2 By2 Dx Ey F 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจ านวนเต็ม

25

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ตัวอย่าง ให้หาสมการพาราโบลาที่ผ่านจุดของเส้นตรงx=y กับวงกลมx2+y2+6x=0 โดยมีแกนx เป็น แกนสมมาตร

ตัวอย่าง จุดบนโค้ง4y  (x 1)2 ซึ่งอยู่ห่างจากจุดโฟกัส13 หน่วย จะอยู่ห่างจากแกนx เท่าใด

PAT1มี.ค. 54 ให้เส้นตรงx-y+2=0 ตัดกับวงกลมx2  y2 6x 4y 4 0ที่จุดA และ จุดB ถ้า (a,b) เป็นจุดโฟกัสของพาราโบลาซึ่งมีเส้นตรงy=2 เป็นแกนของพาราโบลาและพาราโบลานี่ผ้านจุดA และจุด B แล้วa+b เท่ากับเท่าใด

26

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

ANET 51 ให้A และ B เป็นจุดยอดของไฮเพอร์โบลา4x2 y2 24x 6y 11 0 สมการของ พาราโบลาที่มี เส้นตรงAB เป็นเลตัสเรกตัม และมีกราฟอยู่เหนือแกนx คือสมการในข้อใดต่อไปนี้

ก. (x 3)2

4(y 2)

ข. (x 3)2

8(y 1)

ค. (x 2)2

4(y 2)

ง. (x 2)2

8(y 1)

ENTมี.ค. 48 ก าหนดให้พาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเป็นy2 16x 4y 12 0 ถ้าL เป็นเส้นตรงที่ ผ่านโฟกัสของพาราโบลารูปนี้ และตั้งฉากกับเส้นตรง3x-2y+5 = 0 แล้ว ระยะตัดแกนy ของเส้นตรงL มีค่า เท่ากับเท่าใด

ENTต.ค. 46 ให้H เป็นไฮเพอร์โบลา4x2 12y2 16x 72y 44 0 ซึ่งมีจุดโฟกัสคือF1 และ F2 ให้E เป็นวงรีซึ่งมีจุดศูนย์กลางร่วมกับH โดยมีF1 และ F2 เป็นจุดยอด และสัมผัสแกนy ถ้าE ตัดแกนx ที่จุดA และ B แล้วAB ยาวเท่ากับเท่าใด

27

คณิตศาสตร์ เรขาคณิตวิเคราะห์และภาคตัดกรวยwww.clipvidva.com

เอกสารอ้างอิง

คณิต มงคลพิทักษ์สุข, “MATH E-BOOK Release2.5”, ส านักพิมพ์Science Center, 2554.

สมัย เหล่าวานิชย์, รศ., “ตะลุยคลังข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ สาระการเรียนรู้พื้นฐานแ

เพิ่มเติม”, ส านักพิมพ์ไฮเอ็ด พับบลิชชิ่ง.

http://kruaun.wordpress.com/testbank/pat1/

http://th.wikipedia.org/wiki/เรขาคณิตวิเคราะห์

28