Share PDF

Search documents:
  Report this document  
    Download as PDF   
      Share on Facebook

Potensial Listrik

Sebagaimana halnya medan gaya gravitasi, medan gaya coulomb juga merupakan medan gaya konseravtif.

Gerak partikel bermuatan q dalam ruang bermedan listrik dapat dianalogikan dengan gerak partikel bermassa m dalam medan gravitasi dekat permukaan bumi.

Gaya konservatif

Ingat bahwa untuk menguji apakah suatu gaya F merupakan gaya konservatif adalah bila

× F = 0

dengan adalah operator differensial parsial, yang dalam koordinat kartesis bentuknya adalah

=

 

i +

 

j +

 

k

x

y

z

 

 

 

 

Medan gaya coulomb mempunyai

bentuk F = Kr 2 , dapat

ditunjukkan bahwa gaya coulomb merupakan gaya konservatif.

Untuk medan gaya yang bersifat konservatif ada fungsi potensial skalar (ingat kembali tentang potensial gravitasi).

Untuk gaya konservatif, usaha yang dilakukan dari suatu tempat ke tempat lain hanya bergantung pada posisi awal dan akhirnya saja.

Beda energi potensial antara dua titik adalah

CK-FI112-03.1

B

U (B) U (A) = WAB = ∫F • ds

A

Potensial listrik

Potensial listrik merupakan besaran skalar yang berkaitan dengan kerja dan energi potensial pada medan listrik.

Beda energi potensial dapat dituliskan

B

U (B)

 

U (A)

B

U (B) U (A) = q ∫E • ds

 

= ∫E • ds

 

q

q

A

 

 

A

Definisi potensial listrik

Jadi beda potensial antara dua tempat adalah

B

Medan listrik

ds E

A

B

V (B) V (A) = ∫E • ds

A

CK-FI112-03.2

Potensial listrik di sekitar muatan titik

 

Medan listrik yang diakibatkan oleh

 

muatan titik adalah

B

E(r) = k

q

rˆ

A

 

 

r 2

 

Karena E(r) berarah radial, maka

E(r) • ds = E (r)dr

 

B

B

 

1

 

1

 

 

 

 

 

Sehingga

VB VA = ∫

E(r) • ds = ∫E (r )dr

 

 

 

 

 

 

 

= kq

 

 

 

 

A

A

rB

 

rA

Jika dipilih V = 0 pada r = , maka potensial listrik pada jarak r dari suatu muatan titik adalah

V (r) = k qr

Besaran potensial listrik di suatu tempat hanya mempunyai makna jika dibandingkan dengan potensial di tempat lain. Yang mempunyai makna fisis adalah beda potensial (ada titik acuannya).

Dengan mengambil posisi sebagai titik acuan yang potensialnya nol (V( ) = 0), maka potensial di suatu tempat akibat muatan titik q adalah

q VA = k rAq

dengan rAq =

rA rq

q

A

rA rq

rA rq

CK-FI112-03.3

Jika ada beberapa muatan titik, maka potensial di suatu titik dapat diperoleh dengan prinsip superposisi

 

 

 

 

 

 

q

q

q

 

V

=V

+V

+V

+ ... +V

= k

1

+

2

+ ... +

n

 

 

 

 

A

Aq1

Aq 2

Aq 3

Aqn

rAq1

rAq 2

rAqn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

q

 

= k ∑

i

 

 

i=1

r

 

 

 

Aqi

Contoh bentuk potensial satu dimensi yang dihasilkan oleh dua buah muatan

q

0

1

2

3

4

5

6

7

8

+q

0

1

2

3

4

6

7

8

 

 

+q

 

 

+2q

 

 

Untuk muatan yang terdistribusi kontinu akan diperoleh

VA = k seluruh∫ dqr muatan

Potensial Listrik dan Medan listrik

Bila bentuk medan listrik telah diketahui, maka dapat diperoleh bentuk potensial listriknya dengan cara

B

VB VA = ∫E • ds

A

CK-FI112-03.4

Sebaliknya medan listrik dapat diperoleh dari potensial dengan cara

 

 

V

 

V

 

V

 

E = V

=

i +

j +

k

 

 

 

 

x

y

 

z

 

Dalam sistem koordinat Cartessian

Himpunan titik-titik dalam ruang yang mempunyai potensial yang sama dinamakan permukaan/garis equipotensial.

Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan sebuah muatan titik

CK-FI112-03.5

Plot 3 dimensi grafik potensial yang dihasilkan oleh suatu dipol listrik

Peta kontur potensial yang dihasilkan suatu dipol

muatan negatif

muatan positif

Peta kontur yang dihasilkan muatan +q dan +2q

+2q

+q

CK-FI112-03.6

Beberapa contoh

Tiga buah muatan titik q1 = q, q2 = q, dan q3 = 2q yang masing-masing berada di titik (0,a), (a,0) dan (0,0). Tentukan potensial di titik P(a,a).

Tentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatan sebesar Q dari titik S(2a,2a) ke titik P tersebut Tentukan usaha yang diperlukan untuk membawa muatan sebesar Q dari ke titik P tersebut

r1 = a j

 

 

 

 

r2 = a i

 

 

 

 

r3 = 0

rP = a(i+j)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

q3

 

VP =VP1 +VP2

+VP3 = k

q1

+

+

 

 

 

 

 

rP2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rP1

 

 

 

 

 

rP3

 

1

 

1

 

 

2

 

 

kq

2

 

= kq

 

 

 

 

+

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

2

 

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari S ke P adalah

WS P = Q (VP VS )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

kq

2

 

 

VS = kq

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

a

5

 

a

8

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

2

 

 

WS P = Q (VP

 

VS ) = Q

2kq

 

 

 

 

2kq

 

 

 

kq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

2 2a 2

 

 

 

a

 

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari ke P adalah

 

 

 

 

2kq

 

W P

= Q (VP

V ) = Q (VP

0) = Q

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

a

 

CK-FI112-03.7

Dua buah keping bermuatan masing-masing dengan rapat muatan dan disusun sejajar. Keping pertama berada di x = 0 sedangkan keping kedua berada di x = d. Tentukan V(x).

Bentuk fungsi medan listrik

 

i

; untuk x < 0

 

 

 

 

 

2 o

 

 

3

 

 

E(x ) =

 

 

i

; untuk 0 < x < d

 

 

2 o

 

 

 

 

d

 

 

 

i ; untuk x > d

2 o

 

 

Misalkan diambil potensial acuan pada (keping yang terletak di x = 0)

Maka

Untuk x < 0 dengan E(x) = ( /2 o)i

x

x

 

 

 

V (x ) Vxo = ∫Edx' = ∫

 

dx' =

 

2 o

2 o

0

0

 

keping yang kiri

x

x

∫dx' =

2 o

0

V (x ) =V

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xo

 

2 o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Untuk 0 < x < d dengan E(x) = (3 /2 o)i

 

 

x

 

x

3

 

3

x

3 x

V (x ) Vxo = ∫Edx' = ∫

 

 

 

dx' =

 

 

∫dx' =

 

2 o

 

 

2 o

0

 

0

 

2 o 0

V (x ) =V

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xo

 

2 o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CK-FI112-03.8

Untuk

x > d dengan E(x) = ( /2 o)i

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

d

 

3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

V (x ) Vxo = ∫Edx' = ∫

 

 

 

 

dx' ∫

 

 

dx'

 

 

2 o

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

d

2 o

 

 

 

 

 

=

 

3 d

+

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 o

2 o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (x )

= Vxo

 

 

 

 

 

 

+

 

x =Vxd

+

 

 

x

 

 

2 o

o

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Plot V(x)

 

 

 

 

 

Vxo

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vxd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fungsi

potensial yang

disebabkan

suatu

muatan titik

adalah

V (x , y,z ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x xo )2 + (y yo )2 + (z zo )2

 

 

 

 

 

 

 

 

Tentukan fungsi medan listrik yang ditimbulkan muatan titik tersebut

 

 

V

 

V

 

V

 

E(x , y, z ) = V

 

 

 

 

=

 

+

 

+

 

 

x

y

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kq

 

 

 

 

 

 

 

V

=

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

(x xo )2 + (y yo )2 + (z zo )2

 

 

 

1

 

 

= kq

 

 

 

x

 

 

 

 

 

(x xo )2 + (y yo )2 + (z zo )2

1/r2

CK-FI112-03.9

=

kq

 

 

(r )

 

 

2r 3/2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

=

kq

(2(x xo )) =

kq

(x xo )

2r 3/2

r 3/2

 

 

 

 

 

dengan cara yang sama

 

 

 

kq

(y yo )

 

 

 

Medan listrik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

V =

r 3/2

 

 

 

 

 

 

 

yang dihasilkan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kq

 

 

 

 

 

 

oleh muatan titik

 

V =

(z zo )

 

 

 

yang berada

 

z

r

3/2

 

 

 

pada (xo,yo,zo)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jadi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x xo )i + (y yo )j + (z zo )k

 

E(x , y,z ) = kq

 

 

 

((x xo )

2

+ (y yo )

2

+ (z zo )

2

3/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

Dua kulit bola bermuatan yang jari-jarinya a dan b (a < b) masing-masing mempunyai rapat muatan a dan b. Keduanya disusun sepusat (konsentrik), kulit bola yang terluar digroundkan. Tentukan fungsi potensial di dalam dan di luar kulit bola tersebut.

 

 

 

Dengan hukum gauss dapat diperoleh

 

 

 

medan listrik yang dihasilkan oleh

 

 

 

kedua kulit bola, yaitu

a a b

E (r) = 0

 

untuk r < a

 

 

 

b

aa2

 

 

 

 

 

E (r) =

untuk a < r < b

 

 

 

or 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a2 + b2

 

 

 

 

E (r) =

 

 

b

untuk r > b

 

 

 

 

 

or 2

 

 

 

 

 

 

 

CK-FI112-03.10

Sehingga bentuk potensialnya

r

Untuk a <r < b V (r) V (b) = ∫Edr'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a2 r

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

dr' =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o b r'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o r b

 

 

V (r) =V (b) +

aa2

 

 

aa2

 

 

=

aa2

 

 

 

aa

2

 

 

 

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

or

 

 

ob

 

 

 

 

or

 

 

ob

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Untuk r < a

V (r) V (a) = ∫Edr' = 0

 

 

V (r) =V (a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sedangkan dari *

diperoleh

 

 

 

V (a) =

 

 

a

a2

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a2

+

 

 

b2 r

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Untuk r > b

V (r) V (b) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

∫

 

 

 

dr'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b r'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a2 +

b2

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (r) =

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Plot V(r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V(r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Va

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CK-FI112-03.11