Share PDF

Search documents:
  Report this document  
    Download as PDF   
      Share on Facebook

Cuprins:

1. ELEMENTE PASIVE IDEALE FOLOSITE ÃŽN STUDIUL CIRCUITELOR ELECTRICE

..... 2

1.1. Marimi fizice utilizate în studiul circuitelor electrice ..........................................................

2

1.1.1. Intensitatea curentului de conductie ..............................................................................

2

1.1.2. Tensiunea electrica ........................................................................................................

3

1.1.3. Legea lui Ohm ...............................................................................................................

4

1.2. Rezistorul ideal.....................................................................................................................

7

1.2.1. Rezistenta electrica a omului. Electrocutarea ...............................................................

8

1.2.2. Conectarea rezistentelor electrice. Rezistenta echivalenta..........................................

13

1.3. Condensatorul ideal............................................................................................................

17

1.3.1. Conectarea capacitatilor electrice. Capacitatea echivalenta........................................

20

1.4. Bobina ideala......................................................................................................................

28

1.5. Bobine cuplate magnetic ....................................................................................................

34

Capitolul 1

1. ELEMENTE PASIVE IDEALE FOLOSITE ÃŽN STUDIUL CIRCUITELOR ELECTRICE

1.1. Marimi fizice utilizate în studiul circuitelor electrice

Caracterizarea proprietatilor fizice masurabile se face prin marimi fizice.

Un mod de caracterizare a marimilor fizice este dupa modul de actiune a acestora: marimi locale care caracterizeaza punctual un fenomen si marimi globale definite pe baza marimilor locale si care caracterizeaza comportarea unui domeniu sau a unei suprafete din punct de vedere al fenomenului studiat.

Circuitele electrice opereaza cu marimi globale, respectiv curenti si tensiuni.

1.1.1. Intensitatea curentului de conductie

Miscarea ordonata a particulelor libere reprezinta curentul de conductie. Se numesc particule libere acele particule care nu apartin unui atom bine determinat. Astfel pot fi electronii de valenta colectivizati din metale, ionii pozitivi sau negativi din electroliti sau „golurile” din teoria semiconductoarelor. Deci curenti de conductie sunt specifici metalelor, electrolitilor si semiconductoarelor.

n

e- E

v

i

Fig. 1.1.1

Marimea fizica globala ce caracterizeaza curentul de conductie este intensitatea curentului de conductie sau simplu curentul electric. Definirea acestei marimi se face în functie de o suprafata. Suprafata este orientata, adica pe directia normala a suprafetei se alege un sens arbitrar, numit sensul de referinta al curentului electric, fig.1.1.1.

Prin definitie, intensitatea curentului de conductie printr-o suprafata orientata în raport cu sensul de referinta ales, reprezinta sarcina electrica Q ce strabate suprafata în timpul t când

t→0:

i  lim

Q



d Q

(1.1.1)

 

 

t

d t

t 0

 

 

Sarcina Q se considera pozitiva pentru toate sarcinile negative ce se misca în sens opus normalei, respectiv cele pozitive ce se deplaseaza în sensul normalei. În caz contrar Q este considerata negativa.

La nivelul microscopic, daca v este densitatea sarcinilor electrice libere în miscare iar v este viteza medie a acestor sarcini, se poate introduce o marime locala, de stare a corpurilor parcurse de curent, numita densitatea curentului de conductie, J:

2

 

 

J   v  v

(1.1.2)

Cu aceasta marime

vectoriala, intensitatea curentului de conductie prin suprafata

orientata S se scrie în forma:

 

 

 

 

i 

J dS

(1.1.3)

 

 

S

 

Pe baza relatiei (1.1.3), densitatea curentului de conductie reprezinta sarcina electrica libera care în unitatea de timp strabate unitatea de suprafata ortogonala pe miscarea particulelor libere.

ÃŽn sistemul international (MKSA), unitatea de masura pentru intensitatea de curent este

Amperul, 1 A  1C , iar din (1.1.3) rezulta unitatea de masura pentru densitatea de curent:

1s

 J 

1 A

1

A



1m 2

m 2

 

 

 

1.1.2. Tensiunea electrica

Pentru a exista curentul electric, deci pentru a asigura miscarea ordonata a sarcinilor libere, este necesar ca în conductor sa se stabileasca un câmp electric exterior de intensitate E. Acesta exercita forta de natura electrica Fe  q E asupra tuturor particulelor libere.

Exista situatii când în afara fortei de natura electrica, asupra particulelor libere se exercita si forte de natura neelectrice (cazul surselor elecrtrice unde energia de alte forme se transforma în energie electromagnetica). Corespunzator acestor forte de natura neelectrica se introduce intensitatea câmpului imprimat care, prin definitie, este raportul dintre forta de natura neelectrica si sarcina libera.

E i 

Fn

(1.1.4)

q

 

 

În general, circulatia unui câmp vectorial de-a lungul unei curbe se numeste tensiune, iar circulatia de-a lungul unei curbe închise se numeste tensiune motoare. În cazul câmpului electric avem tensiune electrica.

Tensiunea câmpului electric în lungul curbei C este:

U 

Edl 

E dl cos E,dl

(1.1.5)

 

C

 

C

 

ea fiind functie, în general, de curba C.

 

 

 

 

Tensiunea câmpului imprimat de-a lungul curbei C este:

 

 

U i 

C

E i dl

(1.1.6)

 

 

 

 

Se defineste intensitatea câmpului în sens larg în forma:

 

 

E l  E  E i

(1.1.7)

si, corespunzator, avem tensiunea în sens larg de-a lungul curbei C:

U l 



E l dl 



E  E i dl

(1.1.8)

 

 

 

 

 

C

 

C

 

 

Pentru o curba închisa , se defineste tensiunea electromotoare:

U e  E dl

(1.1.9)





3

iar pentru câmpul imprimat:

U i  E i dl

(1.1.10)

e 

Definirea acestor integrale se face în raport cu sensul de referinta al elementului de linie dl, arbitrar ales. Ca urmare sensul de referinta al elementului de linie da sensul de referinta al tensiunii.

Se numeste sens efectiv acel sens de referinta pe curba pentru care tensiunea este pozitiva.

În general intensitatea câmpului electric E este un vector care are o componenta potentiala Ep determinata de sarcina electrica si o componenta solenoidala Es determinata de variatia în timp a câmpului magnetic. Pentru regimuri cvazistationare avem: E p  V (deriva

dintr-un câmp scalar)

iar E s

   A

, unde V este

potentialul electromagnetic

iar A este

 

 

 

 

 t

 

 

 

 

 

 

potentialul vector al câmpului magnetic.

 

 

 

 

 

 

Se defineste tensiunea la borne în forma:

 

 

 

U 



Edl 



E p dl 



E s dl  



V dl V A V B

(1.1.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

C b

 

C b

 

 

C b

 

C b

 

 

unde Cb este o curba a tensiunii la borne între punctele A si B, curba în punctele careia Es este ortogonal pe dl.

Se numeste tensiune indusa în lungul unei curbe:

 

 

 

 

 

 

U e 



E s

dl

 

 

(1.1.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

Tensiunea electromotoare este:

 

 

 

 

 

 

 

 

U e 



Edl 



E p  dl 



E s  dl 



E s  dl ,

(1.1.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 



 

 

 



 



 

 

în care s-a tinut seama ca circulatia componentei potentiale pe orice curba închisa  este nula.

În regim stationar (curentul continuu), Es=0, deci câmpul electric are numai componenta potentiala, E=Ep. În acest caz tensiunea electrica de-a lungul unei curbe nu depinde de forma ei fiind determinata doar de potentialele punctelor de început si sfârsit ale curbei:

V B



E dl 



E p dl  



V e dl  



d V V A V B  u b

(1.1.14)

 

 

 

 

 

C A B

 

C A B

 

C

V A

 

 

ÃŽn S.I. unitatea de masura pentru tensiunea electrica este voltul, V.

1.1.3. Legea lui Ohm

Fie o portiune de conducta, de lungime l si sectiune constanta S, fara câmp imprimat, fig.1.1.2, în regim stationar. Tensiunea electrica aplicata portiunii de conducta U=V1-V2 da nastere la un câmp electric E si densitatea de curent J.

4

u  i R
J  E

dS EJ

i

V2

dl

 

(C)U

i

V1

Fig. 1.1.2

Cum J poate fi considerat constant pe sectiune, avem:

 

 

 

i 



J dS  J  S ,

(1.1.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 S

 

 

 

 

i

 

 

 

de unde

J 

 

.

 

 

 

 S

 

 

 

Experienta arata ca pentru medii liniare si omogene fara câmp imprimat, între E si J exista relatia

(1.1.16)

numita forma locala a legii conductiei. Marimea  se numeste conductivitatea mediului si reprezinta o constanta de material pozitiva. Unitatea de masura a conductivitatii este

Siemens/metru, S/m. Inversul conductivitatii se numeste

masura pentru rezistivitate este ohmmetru, m.

Tensiunea câmpului electric se poate scrie în forma:

U 

 

Edl 

 

J

dl  i

 

d l





 S

 

 

 

 

C

 

C

 

C

rezistivitate,

 

1

. Unitatea de



 

 

 

 i R

 

 

(1.1.17)

în care

R 

 

d l

(1.1.18)

 

 

 S

 

 

C

este o marime independenta de starile câmpului electrocinetic, numita rezistenta portiunii de conducta. Este determinata de dimensiunile si forma portiunii de conducta si de natura portiunii de conducta prin conductivitatea (rezistivitatea) mediului.

Daca sectiunea portiunii de conducta este constanta, (1.1.18) devine:

R 

l



 l

(1.1.19)

 

 

  S

 S

 

 

 

În general, avem la dispozitie un material (sârma) de o anumita sectiune S cu  () cunoscute. Pentru a obtine rezistenta dorita se determina lungimea corespunzatoare a sârmei.

Relatia (1.1.17) se poate scrie în forma:

(1.1.20)

si reprezinta legea lui Ohm pe o portiune de conducta fara câmp imprimat, iar tensiunea u se mai numeste caderea ohmica de tensiune.

Experienta arata ca, în general, rezistivitatea mediilor conductoare variaza cu temperatura . La marea majoritate a conductoarelor dependenta rezistivitatii de temperatura se poate exprima într-o prima aproximatie prin relatia:

5

   0 1   0 

(1.1.21)

în care  si 0 sunt valorile rezistivitatilor la temperatura  si respectiv 0 iar  este coeficientul de variatie cu temperatura a rezistivitatii, sau pe scurt coeficientul de temperatura. La metale coeficientul de temperatura este pozitiv, deci rezistivitatea acestora creste cu temperatura, ordinul de marime fiind de aproximativ 4·10-3/0C, pe când la materiale semiconductoare <0, adica rezistivitatea acestor materiale scade cu temperatura.

ÃŽn tab.1.1.1 se dau orientativ valorile rezistivitatilor electrice ale unor materiale uzuale la temperatura de 200C.

Tabelul 1.1.1

MATERIAL

 [ m]

MATERIAL

 [ m]

Aluminiu

(0.028 – 0.03) 10-6

Plumb

0.21

10-6

Argint

(0.016 – 0.017) 10-6

Platina

0.1

 

10-6

Cupru

0.0175 10-6

Crom - Nichel

1.12

10-6

Fier

(0.1 – 0.13) 10-6

Apa Distilata

104

- 105

Nichel

0.12 10-6

Ulei Transformator

1012

- 1018

În studiul circuitelor electrice se opereaza cu urmatoarele elemente ideale de circuit: rezistorul ideal, condensatorul ideal si bobina ideala. Ele reprezinta elemente pasive de circuit caracterizate prin aceea ca, de-a lungul lor, tensiunea câmpului imprimat este nula.

Exemplu 1.1.1

Ce lungime are un conductor de cupru, cu rezistivitatea   0.017

mm 2

 

m

si diametrul

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d=0.55 cm, în care un curent de intensitate I=1A produce o cadere de tensiune U=1V.

Rezolvare

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rezistenta conductorului este: R 

U

1. Tinând seama ca

S 

 d

2

I

4

, din (1.1.19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

se obtine l 

R S

 



 d 2 R

1.4 Km .

 

 

 

 

 

 



4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplu 1.1.2

Un fir de cupru de sectiune circulara are masa m=7 Kg si este parcurs de un curent de intensitate I=1A când i se aplica la capete o tensiune U=21.6V. Se stie ca densitatea cuprului este d=8.9 Kg/dm3 si rezistivitatea cuprului este ρ=1.7 10-8 Om. Se cer: a) diametrul a al firului; b) lungimea l firului.

Rezolvare

Rezistenta firului este R=U/I=21.6O iar volumul ocupat de el este V=m/d=0.7865 dm3.

 

 

 

 

 

 

 

 d 2

 

V

 

 0.7868mm 2

 

Din (1.1.19), având în vedere ca V  S l 

l , se obtine succesiv S 

 

 

,

R

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 

4 S

 

1mm si l 

V

1000m .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplu 1.1.3

Un fir din nichel are rezistivitatea ρ0=0.12 10-6Om la temperatura θ0=200C. Sa se determine rezistivitatea ρ corespunzatoare temperaturii θ=1000C daca coeficientul de temperatura al rezistivitatii este a=4 10-3/0C.

6

Rezolvare

Folosind relatia (1.1.20) se obtine:

  0.1210 6 1 410 3 100 20 0.158410 6 m

Se observa o valoare mai mare a rezistivitatii la temperatura de 1000C fata de cea corespunzatoare temperaturii de 200C, ceea ce este caracteristic materialelor conductoare la care coeficientul de temperatura este pozitiv (fata de semiconductoare la care coeficientul de temperatura este negativ).

Exemplu 1.1.4

Un rezistor de aluminiu are la temperatura θ0=200C o rezistenta electrica R0=0.01O. Sa se determine: a) valoarea rezistentei la temperatura θ=800C; b) cresterea relativa a rezistentei când temperatura rezistorului creste de la θ0=200C la θ1=1200C. Se da coeficientul de temperatura al rezistentei aAl=0.0036.

Rezolvare

Folosind relatia (1.1.20) se obtin R80=0.01216O, R120=0.014O iar cresterea relativa a

rezistentei este R120  R0  0.36 sau procentual 36%. R0

1.2. Rezistorul ideal

Este un element ideal de circuit în lungul caruia tensiunea indusa este nula. De-a lungul rezistorului, toate marimile de stare ale câmpului magnetic sunt nule.

Rezistorul este caracterizat prin rezistenta R, masurata în Ohm, O. Diferite simboluri grafice acceptate sunt date în fig.1.2.1a. Pentru rezistor este valabila legea lui Ohm:

u b  i R

(1.2.1)

i

R R

Ub

R

R

 

a)

b)

c)

 

Fig. 1.2.1

 

Rezistorul nu înmagazineaza energie electrica sau magnetica, singura lui functie fiind transformarea energiei electromagnetice în energie interioara prin dezvoltare de caldura (efectul Joule Lentz). Cantitativ puterea dezvoltata în rezistor este data de:

PR  i 2 R  U b i 

U b2

 

(1.2.2)

 

 

R

Inversul rezistentei electrice se numeste conductanta, G  R1 , si se masoara în Siemens,

[S].

În practica, desi rezistenta electrica este un parametru global ce caracterizeaza din punct de vedere al conductiei sistemul fizic numit rezistor, se obisnuieste ca termenul de rezistenta sa fie folosit atât cu înteles de parametru cât si cu înteles de sistem fizic.

7

Rezistoarele pot fi fixe sau variabile. Dupa modul cum sunt conectate în circuit, rezistoarele variabile pot fi potentiometre, fig.1.2.1b, folosite la modificarea tensiunii consumatorului, sau reostate, fig.1.2.1c, folosite la modificarea curentului prin consumator.

Exista numeroase aplicatii practice care folosesc efectul Joule-Lentz al rezistorului conform caruia prin trecerea curentului electric prin rezistor acesta se încalzeste. Este principiul de functionare al resoului, boilerului electric, fierului de calcat, etc.

Pe lânga rezistenta trebuie cunoscuta si valoarea maxima a curentului suportat sau valoarea maxima a puterii dezvoltate (în general la aparatele casnice se da puterea) astfel încât rezistorul sa nu se distruga. Unul din acesti parametrii este înscris pe rezistenta sau pe aparatul electric (de tip rezistiv) alaturi de valoarea rezistentei.

1.2.1. Rezistenta electrica a omului. Electrocutarea

La fel ca orice organism viu, corpul uman are o rezistenta electrica, Rom. Ea difera de la om la om în limite foarte largi, si chiar la acelasi om în functie de situatie. In general, rezistenta omului este determinata de stratul de piele, de tesuturile musculare, de aparatul circular, de organele interne si de sistemul nervos; depinde nu numai de proprietatile fizice (cum este cazul mediilor obisnuite), ci si de procesele fizice si biochimice foarte complicate care au loc în corp (se apreciaza ca rezistenta electrica a omului lipsit de viata este de 1.6 ori mai mare decât aceea când el este viu).

Pentru simplificare, rezistenta corpului omenesc poate fi împartita în doua parti: rezistenta pielii, care este componenta hotarâtoare în rezistenta electrica a corpului omenesc, si rezistenta tesuturilor interioare.

Daca pielea este intacta si uscata, rezistenta corpului omenesc la atingerea unui corp sub tensiune variaza între 40-100 KO, dar poate sa ajunga pâna la 500 KO. Daca rezistenta pielii scade datorita a diversi factori existenti în mediul înconjurator (de ex. cresterea umiditatii), rezistenta electrica poate sa scada pâna la 600 O, iar daca la locul atingerii, stratul superior al pielii lipseste (cazul unor zgârieturi, taieturi sau rani), rezistenta corpului omenesc poate sa scada si mai mult.

Electrocutarea, numita si socul electric, reprezinta trecerea unui curent electric prin corpul omului când acesta este supus unei diferente de potential (unei tensiuni electrice). Gravitatea electrocutarii depinde în cea mai mare parte de valoarea curentului electric Iom ce se stabileste prin organismul uman. Prin electrocutare este afectat organismul uman în totalitate, cea mai grava afectiune fiind cea a inimii sau a sistemului nervos central. Sub actiunea curentului electric contractarile si destinderile muschiului inimii se produc foarte rapid, de ordinul sutelor de ori pe minut si dezordonat. Acest fenomen, numit fibrilatie, echivaleaza practic cu oprirea functionarii inimii. Marea majoritate a cazurilor de electrocutare mortala s-au datorat acestui efect. Actiunea curentului electric direct asupra sistemului nervos central are loc când se atinge elementul sub tensiune cu parti ale corpului de mare sensibilitate nervoasa (coincid cu partile considerate în medicina la tratamentele de acupunctura). În astfel de cazuri pot fi afectati centrii nervosi importanti, din care cea mai grava este afectarea centrului care comanda respiratia. Accidentele cu afectarea sistemului nervos sunt foarte rare, cele mai dese fiind fibrilatiile inimii.

În cazul electrocutarii, corpul omului se comporta ca o rezistenta electrica supusa unei tensiuni electrice în urma careia se stabileste curentul Iom:

I om 

U om

(1.2.3)

R om

 

 

Deci curentul care se stabileste prin organismul uman este proportional cu tensiunea aplicata si invers proportional cu rezistenta electrica a omului în momentul aplicarii tensiunii. Pe lânga curentul stabilit prin om, electrocutarea depinde si de alti factori deosebit de importanti:

durata de actiune a curentului electric asupra corpului omenesc, în special asupra inimii;

8

calea de închidere a curentului prin corpul omului, în special daca inima se afla în circuitul direct;

ï‚·frecventa curentului, daca acesta este continuu, alternativ, de joasa frecventa sau de foarte mare frecventa;

starea fizica a omului în momentul trecerii curentului electric prin corpul sau (practic stabileste rezistenta electrica a omului);

atentia omului în momentul atingerii obiectului sub tensiune; de exemplu factorul surpriza are un rol important în cazul electrocutarii în special cu efecte asupra sistemului nervos.

La valori foarte mici ale curentilor, sub 1 mA, omul nu simte trecerea acestora prin corpul sau. Numai o actiune de foarte lunga durata, de ordinul minutelor, a unui astfel de curent, poate sa aiba efecte nefavorabile asupra omului, însa nu poate determina moartea acestuia. Daca intensitatea depaseste 1 mA, efectele încep sa devina periculoase asupra vietii omului chiar în timpi scurti, de ordinul secundelor. La valori între 1 mA si 10 mA se simt furnicaturi si comotii nervoase, pâna la durere, la mâinile si picioarele prin care se închide curentul. Senzatiile sunt neplacute. La astfel de curenti nu se produce afectarea inimii si nici a respiratiei. Daca curentul depaseste 5 mA, în afara de furnicaturi si comotii nervoase, se manifesta si contractii ale muschilor la mâinile prin care se închid curentii electrici, astfel încât omul se desprinde cu un efort de obiectul atins aflat sub tensiune. Contractia muschilor are ca efect o strângere mai puternica a obiectului atins, iar daca curentul a depasit 10 mA, contractia devine atât de puternica încât omul nu se mai poate desprinde singur de sub actiunea curentului electric. Trebuie sa intervina o alta persoana care sa-l salveze. Se considera ca intensitati ale curentilor cuprinse între 10 mA si 50 mA nu caracterizeaza înca un interval în care efectele sunt grave. Ramânerea sub actiunea unor astfel de curenti timp îndelungat, de ordinul zecilor de secunde, este totusi foarte periculoasa datorita transpiratiei si strapungerii pielii, ceea ce duce la scaderea rezistentei electrice a corpului uman. Scaderea rezistentei va conduce la rândul ei la o crestere continua a curentului. Astfel, la depasirea valorii de 50 mA, daca organismul uman nu este scos foarte repede de sub tensiune, se produc fibrilatiile inimii, de multe ori cu deznodamânt mortal.

Limita maxima a curentilor nepericulosi se considera valoarea de 10 mA în cazul curentului alternativ si 50 mA pentru curentul continuu. La curentul alternativ, cazul cel mai general al circuitelor de uz casnic, curentii de 10-15 mA si mai mari, sunt considerati curenti periculosi, deoarece omul nu se mai poate elibera singur de sub actiunea lor.

În tabelul 1.2.1 sunt indicate efectele produse de curentul electric asupra organismului uman. De mentionat ca valorile indicate în tebel sunt valabile pentru barbati, în cazul femeilor si a copiilor, valorile Iom trebuie reduse cu circa 1/3.

Daca tensiunea de electrocutare este mare, de ordinul miilor de volti (de exemplu la atingerea conductorului unei linii electrice aeriene), curentul prin corpul uman poate fi de ordinul amperilor sau a zecilor de amperi. La aceste valori se produc si alte fenomene în corp decât fibrilatiile inimii, cum sunt arsurile si disocierea celulelor. La înalta tensiune electrocutarile sunt însotite de cele mai multe ori de arsuri pe suprafete întinse ale corpului. S-a constatat ca la curenti mai mari decât 5A, accidentele devin grave datorita arsurilor si nu datorita electrocutarilor. Aceasta se explica pe de o parte prin faptul ca la aceste valori ale curentului în general nu se produce fibrilatia inimii, iar pe de alta parte prin faptul ca, în aceste cazuri, de cele mai multe ori, atingerea este însotita de un arc electric care mareste foarte mult frecventa curentului, micsorând astfel efectele electrocutarii.

De remarcat ca din punctul de vedere al tensiunii aplicate la electrocutarea corpului omenesc, nu se poate vorbi de valori care sa fie considerate nepericuloase si nici altele care sa fie considerate periculoase. Aceasta deoarece electrocutarea este un efect direct al curentului Iom, curent care depinde si de rezistenta omului Rom, nu numai de tensiunea la care este supus omul

Uom. Astfel au fost cazuri în care la tensiuni foarte înalte, electrocutarile nu au fost mortale, în timp ce au avut loc accidente mortale la tensiuni foarte joase. Tensiunile de 12 V sau 24 V si chiar

9

mai mici, în anumite conditii pot fi periculoase. De exemplu, este cunoscut un accident, în care un om aflat în conditii de umiditate mare, când rezistenta corpului sau prezenta o valoare foarte scazuta (omul se afla în baie), s-a produs electrocutarea mortala la o tensiune de 6 V. Deci nu se poate determina o relatie directa numai între tensiune si curent, deoarece rezistenta electrica variaza în limite foarte largi, astfel încât tensiunile determinate dupa ele nu ar avea prea mare importanta practica. Un fapt este evident si anume cu cât tensiunea la care este supus omul este mai mare, cu atât socul electric este mai puternic, adica gradul de pericol al electrocutarii este mai mare. De exemplu tensiunea industriala de 220 V este periculoasa pentru om, în special când omul se afla într-o situatie când rezistenta lui este scazuta. La o rezistenta scazuta de 1000 O, la tensiunea de 220 V, va trece prin el un curent foarte periculos de 220 mA.

 

 

 

Tabelul 1.2.1

Nr.Crt.

Curentul prin om,

Timpul de

Efectele Produse

 

Iom

trecere

 

1

0 – 1 mA

nedefinit

Nu se simte; la unele persoane, spre valoarea de 1

 

 

 

mA, apar usoare furnicaturi

2

1 – 5 mA

nedefinit

Furnicaturi si comotii nervoase pâna la partile

 

 

 

superioare ale mâinilor sau picioarelor

3

5 – 10 mA

nedefinit

Idem, însa mâinile devin mai rigide si crispate,

 

 

 

eliberarea de sub actiunea curentului mai este

 

 

 

posibila însa cu efort din partea accidentatului

4

10 – 15 mA

nedefinit

Eliberarea de sub actiunea curentului electric nu

 

 

 

mai este posibila fara scoaterea de sub tensiune de

 

 

 

catre o alta persoana

5

15 – 25 mA

nedefinit

Cresterea usoara a presiunii sângelui. Nu se

 

 

 

semnaleaza urmari vatamatoare pentru sistemul

 

 

 

circulator si inima

6

25 – 80 mA

25 – 30 s

Cresterea presiunii sângelui. Dereglarea respiratiei.

 

 

 

Oprirea momentana a inimii având ca urmare o

 

 

 

functionare neregulata a inimii, trecerea la fibrilatia

 

 

 

inimii

7

80 mA – 5(8) A

0.1 -0.3 s

Fibrilatia ireversibila a inimii

8

5 – 8 A(si mai

nedefinit

Oprirea circulatiei sângelui si a inimii cu

 

mare)

 

neregularitati consecutive în functionarea inimii pe

 

 

 

durata lunga. Cresterea presiunii sângelui ân timpul

 

 

 

trecerii curentului. ÃŽmbolnavirea muschilor

 

 

 

respiratori. Arsuri.

Efectele curentului electric depind în mare masura de timpul cât organismul uman sta sub actiunea acestuia. Daca timpul este foarte scurt, de ordinul milisecundelor sau chiar a sutimilor de secunda, nu se pot produce fibrilatiile inimii indiferent de valoarea curentului. La aceeasi durata însa, la valori mari ale curentilor, moartea se poate produce datorita arsurilor si distrugerilor de tesuturi. De exemplu curentii de trasnet fiind de foarte scurta durata (sutimi sau miimi de secunda) sunt deosebit de periculosi datorita arsurilor si distrugerii unor mari parti ale corpului. In tabelul 1.2.2 se dau valorile maxime ale curentilor considerati nepericulosi, în ceea ce priveste producerea fibrilatiilor inimii, în functie de timpul de actiune asupra omului. Se considera ca practic un accident poate fi mortal numai daca durata de trecere a curentului este mai mare decât 0.1 s.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tabelul1.2. 2

Timpul [s]

0.02

0.03

0.05

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Curentul [mA]

1166

952

737

521

368

301

260

233

213

197

184

165

134

116

104

95

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Protectia prin legarea la pamânt

Pentru evitarea electrocutarilor se iau o serie de masuri de protectie. Una din acestea, foarte des întâlnita si în gospodariile casnice, este protectia prin legarea la pamânt. Cum arata si numele, aceasta protectie consta în legarea la pamânt a obiectelor care pot intra accidental sub tensiune. În acest mod se urmareste ca cea mai mare parte din curentul de defect sa treaca prin instalatia de legare la pamânt, iar prin om sa treaca un curent mic, nepericulos. Acest curent este cu atât mai mic cu cât rezistenta electrica de trecere în pamânt este mai mica. Deci nu orice legare la pamânt asigura o protectie suficient de buna.

S

Conductor de faza

 

 

Conductor de nul

 

Sigurante calibrate

 

Ua

 

Ip

 

Rp

Fig. 1.2.2

Tensiunea de atingere la care este supus omul în acest caz reprezinta produsul dintre curentul de punere la pamânt Ip care tece prin instalatia de legare la pamânt si rezistenta Rp a acestuia, Ua=IpRp. Deci, pentru a realiza o protectie eficace, trebuie ca valoarea rezistentei unei instalatii de legare la pamânt sa fie egala sau mai mica decât raportul dintre valoarea tensiunii de atingere maxima admisa si curentul de punere la pamânt, fig.1.2.2:

R p 

U a

(1.2.4)

I p

 

 

Este necesar sa se îndeplineasca si conditia ca la un anumit defect sa se deconecteze circuitul electric, prin topirea fuzibilului sigurantelor. Pentru a satisface si aceasta cerinta, rezistenta de punere la pamânt va fi:

R p 

U a

,

(1.2.5)

K I ns

 

 

 

unde Ins este curentul nominal al sigurantei, iar K este un coeficient care depinde de marimea curentului nominal al sigurantei (K=3.5 pentru Ins pâna la 50 A si K=5 pentru Ins mai mare de 50 A), [6]. In instalatiile de uz casnic de regula sigurantele sunt de 10 A si considerând tensiunea de atingere maxima admisa de 65 V, rezulta ca rezistenta de punere la pamânt trebuie sa fie mai mica sau cel mult egala cu:

R p 

65



65

1.85



 

 

3.5ï‚´10

35

 

 

 

 

Din aceasta conditie rezulta urmatoarele: daca curentul de defect este mai mare de 35 A, se topeste fuzibilul sigurantei si se întrerupe circuitul iar pericolul este complet îndepartat. Daca însa curentul de defect ce trece prin instalatia de legare la pamânt este mai mic decât valoarea de 35 A, nu sunt conditii de topire a fuzibilului sigurantei într-un timp suficient de scurt si deci nu sunt conditii de întrerupere a circuitului. In schimb se asigura o tensiune de atingere sub valoarea

11

maxima admisa de 65 V, deoarece produsul dintre rezistenta de trecere la pamânt Rp si curentul de defect prin pamânt Ip este mai mica de 65 V. De exemplu, daca Rp=1.85 O si curentul Ip=34 A, atunci RpIp=63 V.

În cazul când sigurantele sunt mai mari de 10 A, de exemplu în cazul retelelor trifazate, rezistenta maxima admisa va fi mai mica. Astfel la o siguranta de 25 A, rezulta o rezistenta maxima Rp=0.75 O, ceea ce este extrem de dificil de realizat practic.

Priza de pamânt este constituita la rândul ei din unul sau mai multi electrozi în contact cu pamântul, legati electric între ei. Rezistenta prizei de pamânt depinde de contactul dintre electrozi si pamânt si de rezistenta pe care o opune solul (pamântul) din imediata apropiere a electrozilor la trecerea curentului electric. Rezistenta de contact dintre electrozi si pamânt poate fi neglijata daca se realizeaza o tasare buna a pamântului în jurul electrozilor sau daca acestia sunt introdusi în pamânt prin batere (cazul electrozilor din teava sau bare, introdusi vertical în pamânt).

Când se vorbeste de rezistenta unei prize de pamânt se întelege de fapt rezistenta pe care o prezinta solul în imediata apropiere a electrozilor prizei, considerându-se neglijabila atât rezistenta electrica a electrozilor introdusi în pamânt, cât si rezistenta de contact între electrozi si pamântul din jur. Rezistenta unei prize de pamânt depinde de:

ï‚·rezistenta specifica (rezistivitatea) solului respectiv (o valoare medie fiind 80 Om);

numarul electrozilor introdusi în pamânt;

ï‚·dimensiunea electrozilor.

Rezistenta unei prize de pamânt va fi cu atât mai mica cu cât rezistivitatea solului va fi mai mica si cu cât numarul si dimensiunea electrozilor sunt mai mari. De exemplu, într-un sol cu o rezistivitate de 80 Om, pentru a se putea realiza o rezistenta sub 1.85 O, sunt necesari 10 electrozi vertical din teava de 3 m lungime, cu un diametru de 50-60 mm, legati între ei cu alti 10 electrozi orizontali din otel lat cu o sectiune de 40X4 mm si o lungime de 6 m. Distanta dintre electrozi trebuie sa fie suficient de mare, pentru a se oferi curentului un volum de trecere în pamânt cât mai mare. În cazul electrozilor verticali, distanta dintre acestia trebuie sa fie de doua ori mai mare decât lungimea unui electrod. Electrozii verticali trebuie sa se lege între ei prin electrozi orizontali din otel lat sau otel rotund.

S

Conductor de faza

 

 

Conductor de nul

 

Sigurante calibrate

Conductor de

 

nul de lucru

Ua

 

 

Priza cu

Conductor de

protectie

 

nul de protectie

 

 

Ip

 

Priza de

 

pamânt de 4 O

Fig. 1.2.3

Protectia prin legarea la pamânt consta în legarea la conductorul de nul de protectie al retelei, a tuturor obiectelor care pot intra accidental sub tensiune, fig.1.2.3.

Legarea la conductorul de nul se realizeaza cu ajutorul unui conductor de nul de protectie care, de cele mai multe ori însoteste chiar conductorul de lucru (de alimentare cu energie electrica) si este diferit de conductorul de nul de lucru. În acest caz instalatia electrica din locuinta are trei conducte în loc de doua si anume: un conductor de faza, un conductor de nul de

12

lucru si un conductor de nul de protectie care merge la toate prizele cu contacte de protectie. Este interzisa folosirea aceluiasi conductor de nul si pentru nul si pentru protectie. Prin legarea la nul se realizeaza o legatura de rezistenta electrica foarte mica între carcasele receptoarelor si conductorul de nul a retelei (mult mai mic decât rezistenta obtinuta cu o instalatie de legare la pamânt Rp). În modul acesta curentul de defect este foarte mare si determina topirea fuzibilelor sigurantelor electrice sau determina declansarea întrerupatoarelor care protejeaza circuitul electric respectiv.

Pentru a se asigura deconectarea este necesar ca sectiunea conductoarelor de nul de protectie sa fie suficient de mare, astfel încât curentul de defect Id sa fie de circa 3.5 ori mai mare decât curentul nominal al sigurantelor sau circa 1.25 ori curentul de declansare al întrerupatoarelor automate. În gospodariile particulare aceasta conditie de declansare este de regula îndeplinita daca sectiunea conductorului de protectie este egala cu sectiunea conductorului de faza (de lucru). Legarea la conductorul de nul de protectie se realizeaza relativ simplu. De la borna de nul a tabloului de distributie se merge pâna la toate prizele cu contacte de protectie cu doua conducte de nul: una de lucru si una de protectie, fig.1.2.3. Borna de nul de la tabloul de distributie se leaga la o instalatie de legare la pamânt a locuintei sau a blocului care trebuie sa aiba o rezistenta de trecere de cel mult 4 O.

1.2.2. Conectarea rezistentelor electrice. Rezistenta echivalenta.

Fie o schema electrica a unei grupari de rezistente. De multe ori intereseaza comportarea

globala a gruparii de rezistente fata de doua borne arbitrar alese (în cazul nostru A si B) prin care

se comunica cu exteriorul. Fata de aceste borne se defineste o rezistenta echivalenta, Re, prin

raportul dintre tensiunea aplicata la bornele AB, U b U A U B , si curentul i absorbit de gruparea

de rezistente, fig.1.2.4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R e



U b



V A

V B

(1.2.6)

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

VA

i

R2

 

 

 

 

VA

i

 

 

R3

 

 

 

 

 

 

Ub

 

R4

R5

 

 

Ub

Re

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

R6

 

 

 

 

 

 

VB

 

R7

 

 

 

 

VB

 

 

 

 

 

Fig. 1.2.4

 

 

Rezistenta echivalenta ar corespunde unui rezistor care daca ar fi conectat între bornele A si B în locul gruparii reale de rezistoare, la aceiasi tensiune Ub ar stabili acelasi curent de alimentare i.

În general se pune problema exprimarii rezistentei echivalente în functie de rezistentele componente. Calculul este relativ usor în cazul când rezistentele componente sunt conectate în serie, în paralel sau mixt (combinatie serie si paralel).

a) Conectarea în serie

Doua sau mai multe rezistente sunt conectate în serie daca sunt parcurse de acelasi curent electric oricare ar fi tensiunea la bornele lor, fig.1.2.5.

13

UR1 UR2

i

R1

R2

 

Ub

 

 

i

Re

 

Ub

 

Fig. 1.2.5

Pentru prima schema se poate scrie: ub = u1 + u2 = i R1 + i R2 = i (R1 + R2 ) iar pentru a doua schema, ub = i Re. Din cele doua relatii, care trebuie sa fie egale oricare ar fi tensiunea Ub si curentul corespunzator i, se obtine:

R e  R1  R 2 ,

(1.2.7)

ceea ce arata ca rezistenta echivalenta în cazul a doua rezistente înseriate este egala cu suma acestor rezistente.

Generalizând pentru n rezistente R1, R2,...., Rn conectate în serie, rezistenta echivalenta

este:

n

R e  R1  R 2 ...  R n  Ri (1.2.8)



i 1

De remarcat ca în cazul conectarii serie a rezistentelor, rezistenta echivalenta este mai mare decât cea mai mare dintre rezistentele înseriate.

Daca cele n rezistente sunt identice, R1 = R2 =...= Rn = R se obtine:

Re  n R

(1.2.9)

În cazul celor doua rezistente înseriate,

curentul

stabilit

prin ele este

i 

u b

iar

R1

 R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tensiunea la bornele fiecareia este:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 1  i R1 

R1

u b

,

u 2  i R2



R2

 

u b

 

 

(1.2.10)

R1

 R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1  R2

 

 

 

 

Daca cele doua rezistente formeaza un divizor de tensiune (tensiunea pe fiecare dintre cele doua rezistente este o parte din tensiunea totala ub), atunci relatiile (1.2.10) reprezinta formulele divizorului de tensiune.

b) Conectarea în paralel

Doua sau mai multe rezistoare sunt conectate în paralel daca stau sub aceiasi tensiune la borne oricare ar fi curentii ce le parcurg, fig.1.2.6.

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

i2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ub

 

 

 

 

R1

 

 

 

R2

 

Ub

 

 

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.2.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pe

baza legii lui Ohm se pot

 

determina curentii ce trec

prin

cele doua rezistente:

 

u b

 

 

u b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



1

 

1



i1 

 

,i

2 

 

si având în vedere ca

i  i1

i 2

se obtine: i  

 



 

 

u e .

 

 

 

 

 

 

R1

 

 

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



R1

 

R 2



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

Egalând aceasta relatie cu cea care exprima curentul prin R e ,i 

u b

, se obtine:

R e

 

 

 

 

 

 

 

 

1



1



1

 

 

(1.2.11)

 

 

 

 

 

 

 

R e

R1

R 2

 

 

 

 

 

 

ceea ce arata ca inversul rezistentei echivalente a doua rezistoare în paralel este egala cu suma inverselor celor doua rezistente.

Relatia (1.2.11) se mai poate scrie în forma:

Re 

R1

 R

2

(1.2.12)

R1

 R2

 

 

sau în functie de conductante:

 

 

 

 

G e  G1 G 2

 

(1.2.13)

Generalizând pentru n rezistente în paralel, R1, R2,...Rn, rezistenta echivalenta este:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

1

 



1



1

 

... 

1



 

1

(1.2.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R i

 

R e

R1

 

 

R 2

 

R n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

sau

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Ge  G1

G 2

 ....G n 



Gi

(1.2.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

De remarcat ca în cazul conectarii paralel a rezistentelor, rezistenta echivalenta este mai mica decât cea mai mica dintre rezistentele puse în paralel.

Daca cele n rezistente sunt identice, R1 = R2 =...= Rn = R, se obtine:

R e 

R

(1.2.16)

 

n

 

 

Curentii prin cele doua rezistente puse în paralel se pot exprima functie de curentul total i, în formele:

i1



u b

 



i R e

 



 

 

 

R 2

 

i

R1

 

R1

 

R1

 R 2

 

 

 

 

 

 

(1.2.17)

 

 

 

u b

 

 

i R e

 

 

 

 

R1

i 2



 



 



 

 

 

i

 

R 2

 

R 2

 

R1  R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

relatii cunoscute sub numele de formulele divizorului de curent.

Daca una din cele doua rezistente conectate în paralel este zero (de exemplu R2=0), caz când spunem ca R1 este scurtcircuitata, atunci Re = 0 iar tot curentul i trece prin rezistenta de valoare zero (R2).

c) Conectarea mixta

Conectarea mixta reprezinta o combinatie a conectarilor serie si paralel, calculul rezistentei echivalente facându-se din aproape în aproape pe baza expresiilor stabilite pentru cele doua tipuri de conectari, serie si paralel.

 

 

i1

i

R1

R2

 

Ub

 

i2

 

R3

 

 

i

R1

Rp

 

 

Ub

 

 

i

Re

 

Ub

 

Fig. 1.2.7

15

 

 

Astfel

 

 

pentru circuitul din

fig.1.2.7

se obtin

succesiv:

R p 

R

2

R 3

 

si

 

 

 

 

R 2

 

 R

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R e  R1  R p  R1



R

2 R 3

 

 

iar

pentru circuitul din

fig.1.2.8:

R s  R 2

 R 3 si

R 2

 R

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re



R1 R s



 

 

R1 R2  R3 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1  R s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1  R2  R3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i2

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i2

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ub

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

R3

Ub

 

 

 

R1

 

 

Rs

Ub

 

 

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.2.8

Exemplu 1.2.1

Rezistentele circuitului din fig.1.2.9a au valorile R1=10O, R2=9O, R3=10O, R4=15O si sunt alimentate pe la bornele ab cu tensiunea U=18V. Sa se determine a) rezistenta echivalenta fata de bornele ab (Re); b) curentul absorbit de gruparea de rezistente (i); c) tensiunea pe rezistenta R4 (UR4); d) puterea dezvoltata în rezistorul R2 (PR2); e) curentul prin rezistorul R3 (I3).

a

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a I

 

 

 

a

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

R1

R3

 

 

R4

 

 

 

U

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

Rp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

R1

 

 

 

Rs

 

 

U

 

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UR4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

URp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

 

 

 

 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.2.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rezolvare

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) Prin grupari

succesive

se

obtin

R p 

 

R

3

R4

 

 

 

 6 , Rs  R2

 R p 15 si

rezistenta

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R3

 R4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

echivalenta fata de bornele ab,

Re 

 

R1

R s

 

 6

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1

 R s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Curentul absorbit de gruparea de rezistente este:

I 

U

 

 

 3 A ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) Curentul ce trece prin R2

si Rp este: I

 

 

 



U

 



 

 

 

 

U

 

 

1.2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R s

 

 

R2

 

 R p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tensiunea pe rezistenta R4

este aceiasi cu tensiunea pe R3 si anume egala cu tensiunea pe Rp

(având în vedere ca R3 si R4 sunt conectate în paralel): U R3

U R4 U Rp  I 2 R p  7.2V ;

d) Puterea dezvoltata în rezistorul R2 este: PR2  I 22 R2 12.96W

e) Curentul prin rezistorul R3 este: I 3  U R3  0.72 A . R3

Exemplu 1.2.2

ÃŽn circuitul din fig.1.2.10a se cunosc R1=6O, R2=12O, R3=3O, R4=9O si U=24V. Sa se determine: a) rezistenta echivalenta a gruparii de rezistente fata de bornele ab (Re); b) curentul

16

absorbit de gruparea de rezistente (I); c) tensiunea pe rezistenta R1 (UR1); d) curentul prin rezistenta R2 (I2); e) puterea dezvoltata în rezistenta R4 (PR4).

 

a

 

UR1

 

 

 

 

 

a

 

 

 

UR1

a

 

 

 

 

 

 

 

UR1

 

a

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R1 I2

 

 

 

R3

 

 

 

R1

 

 

 

I2

 

 

 

 

 

R1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

R2

 

 

 

 

R4

 

 

 

U

 

 

R2

 

 

Rs

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

Rp

 

 

 

 

U

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)

 

 

 

 

 

 

d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.2.10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rezolvare

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

Prin grupari succesive se obtin: Rs

 R3  R4 12

,

R p



 

R

2 R s

 6

 si rezistenta

 

R2

 R s

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

echivalenta fata de bornele ab Re

 R1

 R2

12;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)

 

Curentul absorbit prin gruparea de rezistente este I 

U

 2 A ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Re

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)Tensiunea pe rezistenta R1 este U R1  I R1 12V ;

d)Tensiunea pe rezistenta R2 este egala cu tensiunea pe rezistenta Rs (fiind conectate în paralel), egale cu tensiunea pe rezistenta Rp: U R 2 U R s U R p  I R p 12;

 

Curentul prin R2 este I

 



U R 2

1A ;

 

2

R 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e)

Curentul prin R4 va fi

 

I 4



 

U R s

 

1A (sau I4=I-I2=1 A) iar puterea dezvoltata în

 

R

3  R

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rezistorul R4 este P

 I 2

R

4

 9W .

 

 

 

 

R 4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3. Condensatorul ideal

Se numeste condensator, sistemul fizic format din doua conductoare, numite armaturi, încarcate cu sarcini egale si de semn contrar, între care se gaseste un mediu dielectric, fara sarcini electrice si polarizatie permanenta, fig.1.3.1.

V1 V2

+Q -Q

Fig. 1.3.1

17

Faptul ca sarcinile de pe cele doua armaturi sunt egale si de semn contrar, Q1+Q2=0, face ca toate liniile de câmp ce pornesc de pe armatura pozitiva sa se termine pe armatura negativa. Un astfel de câmp se numeste câmp complet.

Raportul dintre sarcina electrica de pe electrodul pozitiv si diferenta de potential (tensiunea electrica) dintre cele doua armaturi, este o marime pozitiva numita capacitatea electrica a condensatorului:

C 

 

Q

 



Q

(1.3.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

V1

V

2

 

U

 

Capacitatea electrica este o marime independenta de starile câmpului electric, ea fiind determinata de mediul dielectric precum si de forma, dimensiunile si pozitia armaturilor. Capacitatea electrica este o marime caracteristica a condensatorului, reprezentând un parametru global al acestuia.

Unitatea de masura pentru capacitatea electrica în S.I. este faradul, F:

C 

Q 



1C

1F ;1F 

1C



U 

1V

1V

 

 

 

 

Este o unitate mare, ca urmare în practica se folosesc submultiplii acestuia, mili-, micro-, nano-, pico-farazi.

Se poate arata usor ca pentru condensatorul plan din fig.1.3.2, capacitatea acestuia este:

C   S d

în care d si S sunt distanta dintre armaturi si respectiv sectiunea acestora iar

permitivitatea electrica a mediului dintre armaturi, cu 

 



1

 

F m

0

 

 

4 S10

3

 

 

 

 

 

 

 

electrica a vidului în S.I., si r – permitivitatea relativa a mediului.

+Q

-Q

 

S

 

r

0

U

 

d

 

(1.3.2)

   0  r este

permitivitatea

Fig. 1.3.2

Materialele ce se folosesc între armaturile condensatoarelor, caracterizate prin r, având scopul de a mari capacitatea electrica, se numesc materiale izolatoare sau dielectrici. În general, în industria electrotehnica, materialele izolatoare sunt folosite la izolarea circuitelor electrice în masini si aparate electrice. In realitate materiale izolatoare folosite în industria electrotehnica nu sunt izolatori perfecti. Dielectricii reali poseda o anumita conductivitate electrica, datorita în principal prezentei ionilor proprii sau a impuritatilor pe care le contin. Daca tensiunea electrica aplicata, respectiv intensitatea câmpului electric depasesc anumite valori, în dielectric apare o descarcare electrica numita strapungere. Valoarea maxima a intensitatii câmpului electric ce se poate stabili în dielectric fara ca acesta sa strapunga se numeste rigiditate dielectrica, Ed. Tensiunea aplicata dielectricului la care are loc strapungerea acestuia se numeste tensiune de strapungere. Ea constituie un parametru pentru condensatoarele comerciale si este data de firma constructoare, alaturi de capacitatea condensatorului.

18

În schimb pentru materialele izolatoare folosite în industria electrotehnica se da rigiditatea dielectrica, care este specifica materialelor izolatoare. În tab.1.3.1 sunt date rigiditatea dielectrica si permitivitatea relativa ale unor materiale izolatoare utilizate des în industria electrotehnica.

Tabelul 1.3.1

MATERIAL

Ed [KV/cm]

 

r

Aer

 

30

1.0006

Ulei de Transformator

80 – 150

2.1

– 2.4

Sticla

100

– 400

4 – 14

Prespan

120

– 180

3

– 5

Portelan

150

– 200

5

– 6

Cauciuc

160

– 300

2.4 – 6

Polistiren

50

– 70

2.5

Rasina

20

– 70

2.5 - 8

În teoria circuitelor electrice se opereaza cu condensatorul ideal. Condensatorul ideal este un element ideal de circuit care are armaturile perfect conductoare si în fiecare punct al dielectricului de conductivitate nula, componenta solenoidala a intensitatii câmpului electric, Es, si intensitatea câmpului imprimat, Ei, sunt nule.

Diferitele simboluri grafice acceptate pentru condensatorul ideal sunt dat în fig.1.3.3:

ï‚·a) pentru condensatorul liniar de capacitate constanta;

ï‚·b) pentru condensatorul cu mediu neliniar;

ï‚·c) pentru condensatorul liniar de capacitate variabila;

ï‚·d) pentru condensatorul neliniar de capacitate variabila.

i

 

 

 

uC C

C

C

C

a)

b)

c)

d)

 

Fig. 1.3.3

 

 

Se poate arata ca pentru sensul tensiunii uc pe condensatorul liniar de capacitate constanta si a curentului i din fig.1.3.3.a (sensuri corespunzatoare încarcarii condensatorului) se poate obtine relatia:

i  C

d uc

(1.3.3)

d t

Relatia (1.3.3) arata ca în circuite de curent continuu, unde marimile de stare ale câmpului electromagnetic nu variaza în timp, curentul prin condensator este nul. Deci, condensatorul blocheaza componenta continua a curentului.

Daca se exprima tensiunea pe condensator, din (1.3.3) se obtine:

t

u c t 

1

 

i d t  u c 0 

(1.3.4)

 

 

C 

 

 

 

 

0

 

 

Deoarece tensiunea pe condensatori se obtine integrând curentul, se spune ca

condensatorul este un element integrator. Daca

u c 0  0 , adica în

stare initiala la t=0

condensatorul este descarcat, avem:

19

t

u c t 

1

 

i d t 

(1.3.5)

 

 

C 

 

 

 

0

Condensatorul ideal nu înmagazineaza energie magnetica, dar înmagazineaza energie electrica. Energia înmagazinata de un condensator de capacitate C încarcat cu sarcina Q si tensiunea uc este:

W

 



1

Qu

 



1

u 2

C 

1 Q 2

(1.3.6)

c

 

c

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

c

 

2 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÃŽn paragrafele ce urmeaza ne vom referi, ca mai sus, la condensatoare cu medii liniare de capacitati constante.

1.3.1. Conectarea condensatoarelor electrice. Capacitatea echivalenta

În numeroasele cazuri, pentru o grupare oarecare de condensatoare, prezinta interes comportarea globala a acesteia fata de doua borne de acces A si B în legatura cu exteriorul, fig.1.3.4.

Se numeste capacitate echivalenta a retelei de condensatoare fata de bornele A si B, marimea Ce definita prin:

C e 

Qe

(1.3.7)

U A B

 

 

care reprezinta capacitatea unui condensator fictiv cu care s-ar înlocui gruparea de condensatoare astfel încât la aceiasi tensiune între punctele A si B sa se încarce cu o sarcina electrica Qe identica cu cea absorbita de gruparea de condensatoare, fig.1.3.4.

A

C1

C3

 

 

A

 

 

 

C2

C4

 

 

 

UAB

 

C5

 

UAB

+Qe

Ce

 

 

 

 

 

 

C6

C8

 

-Qe

 

 

 

C7

 

 

 

 

B

 

C9

 

 

B

 

Fig. 1.3.4

Exprimarea capacitatii echivalente în functie de capacitatile componente se poate face relativ simplu pentru conectarea serie, paralel si mixta a condensatoarelor aflate în conditii initiale nule (adica neîncarcate la t=0).

a) Conectarea în paralel

Doua sau mai multe condensatoare sunt conectate în paralel daca stau sub aceiasi tensiune (au aceiasi tensiune la borne) oricare ar fi încarcarea lor cu sarcina electrica, fig.1.3.5.

U

+Q1

C1

+Q2

C2

U

+Qe

Ce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Q1

 

 

-Q2

 

 

 

-Qe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.3.5

Sarcina totala absorbita din exterior a bornei pozitive, A, fig.1.3.5.a, este:

Q e  Q1 Q 2

20

care se poate scrie în forma:

Qe  C1 U C 2 U U C1 C 2 

Pentru condensatorul echivalent, Ce, se poate scrie

Qe  C e U si egalând cu relatia

anterioara, rezulta:

 

C e  C 1 C 2

(1.3.8)

Relatia (1.3.8) arata ca, capacitatea echivalenta a doua condensatoare în paralel este egala cu suma capacitatilor celor doua condensatoare.

Generalizând pentru n condensatoare, C1, C2,....,Cn, conectate în paralel, capacitatea echivalenta este:

n

C e  C1  C 2 ....  C n 



C i

(1.3.9)

 

 

 

 

i 1

 

 

De remarcat ca, în cazul capacitatilor conectate în paralel, capacitatea echivalenta este

mai mare decât cea mai mare dintre capacitatile puse în paralel.

 

 

Daca cele n capacitati sunt identice, C1 = C2 =.....=Cn = C, se obtine:

 

C e  nC

 

 

(1.3.10)

b) Conectarea în serie

Doua sau mai multe condensatoare sunt conectate în serie daca armaturile lor pozitive se încarca cu aceiasi sarcina electrica oricare ar fi tensiunile la bornele lor, fig.1.3.6.

 

 

 

 

U1

 

 

 

 

 

 

 

 

U2

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

+Q1

 

 

 

-Q1 +Q2

 

 

 

-Q2

 

 

 

+Qe

 

-Qe

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

C2

Fig. 1.3.6

U

 

 

Ce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pentru

cele

 

 

doua condensatoare înseriate

se poate

scrie: Q1=Q2=Qe si

U U 1 U 2 

Qe



Qe

, Qe fiind sarcina absorbita din exterior în procesul încarcarii. Pentru

C1

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

capacitatea echivalenta, U  Qe si comparând-o cu relatia anterioara se obtine:

C e

 

 

 

 

 

1

 



1

 



 

1

 

 

 

(1.3.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C e

 

C 1

C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sau

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C e



 

C 1

C 2

 

 

 

(1.3.12)

 

 

 

 

 

C 1

 C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Generalizând pentru n condensatoare legate în paralel, C1, C2,......Cn, capacitatea

echivalenta este:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

1



1



1

 

.... 

1

 



1

(1.3.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C e

C1

C 2

 

C n

 

C i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

De remarcat ca, în cazul conectarii în serie a condensatoarelor, capacitatea echivalenta este mai mica decât cea mai mica dintre capacitatile înseriate.

Daca cele n condensatoare sunt identice, C1 = C2 =...=Cn=C, relatia (1.3.13) devine:

C e 

C

,

(1.3.14)

n

 

 

 

21

 

 

iar tensiunile la bornele celor n condensatoare sunt identice: u 1  u 2  ...  u n  un .

 

 

c) Conectarea mixta

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La conectarea mixta a condensatoarelor, capacitatea echivalenta se determina din aproape

în aproape pe baza expresiilor stabileste pentru cele doua conexiuni anterioare.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pentru

gruparea

de condensatoare din fig.1.3.7 se obtin

succesiv:

 

C p  C 2 C 3 si

 

 

C1 C p

 

C1 C 2 C 3 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2

C 3

 

C e



 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iar

pentru cea

din

fig.1.3.8

avem:

C s 

 

 

 

 

 

 

si

C1 C p

C1

C

2 C

3

C 2

 C 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C e

 C1 C s

 C1 

 

C 2

C 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2

C 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

C1

 

 

Cp

 

 

 

 

 

Ce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C3

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.3.7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

C3

U

 

 

C1

 

 

 

Cs

U

 

 

 

 

Ce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.3.8

d) Conectarea complexa a condensatoarelor

Conectarile în care condensatoarele nu sunt legate în serie, paralel sau mixt se numesc conectari complexe ale condensatoarelor.

În fig.1.3.9, condensatoarele C1 si C2, respectiv C3 si C4, nu sunt legate în serie pentru ca armaturile lor nu sunt încarcate cu sarcini egale din cauza prezentei condensatorului C5. Din acelasi motiv C2 si C4 respectiv C1 si C3, nu sunt conectate în paralel. Conectarea complexa din fig.1.3.9 se mai numeste legarea în punte a celor cinci condensatoare.

Pentru determinarea capacitatii echivalente a gruparii de condensatoare, a sarcinilor si tensiunilor de pe armaturile condensatoarelor din schema, trebuie scris sistemul de ecuatii pe care le satisfac tensiunile si sarcinile condensatoarelor din schema.

22

 

 

S1

UC1

 

UC2

C1

C2

 

UC5

C5

 

 

 

C3

C4

UC4

UC3

 

Ub

 

 

S2

 

 

Fig. 1.3.9

Astfel, cu sensurile de referinta, alese arbitrar, pentru tensiuni si precizate în fig.1.3.9, se poate scrie urmatorul sistem de ecuatii:

U C1

U C 2

U

U C3

U C 4

U

U C1

U C5

U

iar pentru sarcinile electrice avem relatiile:

 

 

 Q1  Q 2  Q 5  Q 3  Q 5  Q 4

b

b

(1.3.15)

 

C3

 

 0

 

 0

(1.3.16)

 

Ultimele doua ecuatii au fost scrise observând ca în procesul de încarcare prin suprafetele S1 si S2, desenate punctat în fig.1.3.9, nu a trecut sarcina electrica libera si cum înainte de încarcare în interiorul lor sarcina libera a fost nula, ea ramâne nula si dupa terminarea acestui proces. Concluzia rezulta nemijlocit din legea de conservare a sarcinii electrice libere, care precizeaza ca sarcina electrica libera dintr-un volum variaza numai daca prin suprafata ce limiteaza volumul, trece sarcina libera sau curent de conductie.

Ecuatiile (1.3.15) si (1.3.16) conduc la urmatorul sistem de cinci ecuatii cu cele cinci necunoscute date de sarcinile de pe armatura pozitiva corespunzatoare celor cinci condensatoare din schema:

Q1

 



Q 2

 

U b

 

C 1

 

C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Q 3

 



 

Q 4

 

U b

 

C 3

 

 

C 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q1

 



Q 5

 



Q 3

,

C 1

 

C 5

 

C 3

 

 

 

 

 

Q1  Q 2  Q 5  0

Q 3  Q 5  Q 4  0

în care tensiunea Ub este presupusa cunoscuta.

Rezolvând sistemul, se obtine sarcina armaturilor condensatoarelor în functie de tensiunea la borne si de valorile capacitatilor.

De exemplu, pentru sarcina condensatorului C5 se obtine:

23

Q 5



 

 

 

C 5 C 1 C 4

 C 2

C 3



 

U b

C 5

C 1

 C 2

 C 3  C 4

 C

1  C 2 C 3  C 4 

 

 

 

Se spune ca puntea este în echilibru daca UC5=0 adica si Q5=0, ceea ce se realizeaza daca:

C 1



C 3

,

C 2

C 4

 

 

relatie independenta de capacitatea condensatorului C5.

În procesul încarcarii sistemul absoarbe din exterior sarcina Q=Q1+Q3 sub tensiunea Ub. Ca urmare capacitatea echivalenta a sistemului de condensatoare din fig.1.3.9 se calculeaza din:

C e  Q U b

e) Transformarea stea-triunghi a condensatoarelor

În fig.1.3.10.a este prezentata o conexiune stea a trei condensatoare care, fiecare au câte o armatura legata la acelasi nod O. În fig.1.3.10.b este prezentata o conexiune triunghi a celor trei condensatoare.

Se pune problema înlocuirii gruparii de condensatoare conectate în stea cu gruparea de condensatoare in triunghi astfel încât marimile din exterior sa nu se modifice, respectiv tensiunile si sarcinile schimbate cu exteriorul sa nu se modifice. Se urmareste stabilirea unor relatii între capacitatile condensatoarelor unei conexiuni în functie de capacitatile condensatoarelor din cealalta conexiune, astfel încât exteriorul sa nu sufere modificari.

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

U12

 

U31

 

U12

 

U31

 

 

 

 

 

 

 

UC1

C1

 

 

UC12

 

UC31

 

 

 

 

 

 

 

 

UC2

 

UC3

 

 

C12 C31

 

 

 

 

 

 

 

C23

 

2

C2

 

C3

3

2

UC23

3

 

 

 

 

 

 

U23

 

 

 

U23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

b)

 

Fig. 1.3.10

Pentru conexiunea stea a condensatoarelor, cu sensurile de referinta pentru tensiune alese arbitrar, precizate în fig.1.3.10.a, se poate scrie sistemul de ecuatii:



 

 

Q1

 

Q 2

 

U

12



 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

C 1

 

C 2

 



 

 

 

 



 

 

Q 2

 

 

Q 3

 



 

 

 

 

(1.3.17)

U

23



 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

C 2

 

 

C 3

 



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 0

 

Q1  Q 2  Q 3

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





din care se pot determina sarcinile cu care sunt încarcate condensatoarele în stea. De exemplu, sarcina condensatorului C1 rezulta în forma:

24

 

 

 

U 12



1

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U 23

 

 

 

1

 

 

 



1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2

 

C 3

 

 

 

U 12

 

 

U

 

 

 

U 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 



12



 

Q1



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

C 2

 

C 3

 

C 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 



 

1

 

 

 

 

0

 

 

 

1

 



 

1

 

 



1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 1 C 2

C 2

C

 

 

C 3 C 1

 

 

 

 

 

C 1

 

C 2

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1

 

 

 



1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2

C 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

si având în vedere ca U12+U23+U31=0, se obtine:

Q1



C 1 C 2 U 12

C 1 C 3 U 31

(1.3.18)

C 1

C 2 C 3

 

 

 

ÃŽn mod similar, prin permutari circulare se obtin sarcinile celorlalte doua condensatoare ale conexiunii stea:

Q 2 

C 2 C 3 U 23 C 2 C 1U 12

si Q3 

C 3 C1 U

 

31 C 3 C 2 U

23

.

 

(1.3.19)

 

C 1

C 2

C 3

 

 

 

 

C1

C 2 C 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pentru conexiunea triunghi a condensatoarelor, cu sensurile de referinta alese arbitrar,

precizate în fig.1.3.10.b, se obtin:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q12  C12U 12 , Q 23  C 23U 23 , Q 31  C 31U 31

 

 

 

(1.3.20)

Tinând seama ca sarcina schimbata de cele doua conexiuni cu exteriorul corespunzatoare

bornelor 1, 2, 3, trebuie sa fie aceiasi, rezulta urmatoarele relatii între sarcini:

 

 

Q1  Q12 Q 31, Q 2  Q 23 Q12 , Q 3  Q 31 Q 23,

 

 

 

care cu (1.3.20) devin:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q1  C12 U 12 C 31U 31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

2

 C 23 U 23

C12 U 12

 

 

 

(1.3.21)

 

 

 

 

 

 



 

 

 C

 

U

 

 

C

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

3

31

31

23

23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Comparând relatiile (1.3.18), (1.3.19) cu (1.3.21), valabile indiferent de valoarea

tensiunilor U12, U23 si U31 aplicate celor doua conexiuni, se obtine:

 

 

 

 

C 12 

 

C 1 C 2

 

, C 23



 

 

C 2 C 3

 

 

 

, C 31 

 

C 3 C 1

(1.3.22)

C 1

C 2

C 3

C 1

C 2 C 3

 

C 1

C

2 C 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Astfel, pe baza relatiilor (1.3.22) o conexiune stea de condensatoare poate fi înlocuita cu o conexiune triunghi, fara a modifica reteaua exterioara.

Pentru a determina relatiile inverse de trecere de la conexiunea triunghi la conexiunea

stea, se observa ca C 12 C 23 C 23 C 31 C 31 C 12



C1 C 2 C 3

, si tinând seama de (1.3.22)

C 1

C 2

C 3

 

 

 

se obtine:

25

C 1



C 12 C 23

 C 23 C 31

 C 31 C 12

 

 

 

C 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2



 

C 12 C 23

 C 23 C 31

 C 31 C 12

(1.3.23)

 

 

C 31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C 3



 

C 12 C 23

 C 23 C 31

 C 31 C 12

 

 

 

C 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Folosind transfigurarea stea-triunghi, o conexiune complexa de condensatoare poate fi transformata într-o conexiune mixta.

Daca C1  C 2  C 3  C Y si C12

 C 23  C 31

 C  , din (1.3.22) se obtine:

C

 



C Y

(1.3.24)



3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ceea ce arata ca la conexiunea triunghi capacitatile sunt de trei ori mai mici decât la conexiunea stea. Este motivul pentru care bateriile de condensatoare din sistemul energetic trifazat, folosite pentru compensarea factorului de putere, sunt conectate în triunghi. In schimb tensiunile pe condensatoarele conexiunii triunghi sunt mai mari decât tensiunile pe condensatoarele din conexiunea stea.

Exemplu 1.3.1

Doua condensatoare cu valorile C1=6μF, C2=3μF sunt conectate cum indica fig.1.3.11 si alimentate cu tensiunea constanta U=15V. Sa se determine: a) Capacitatea echivalenta (Ce); b) Sarcina electrica absorbita de sistemul de condensatoare (Qe); c) Sarcina cu care este încarcat condensatorul C1 (Q1); d) Tensiunea condensatorului C2 (UC2); e) Energia condensatorului C1 (WC1).

 

 

Q1

 

 

 

U

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

Q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UC2

 

 

 

 

 

 

Fig. 1.3.11

Rezolvare

 

 

 

a) Cele doua condensatoare sunt legate în serie, ca urmare capacitatea echivalenta este:

C e



C

1 C 2

 

 2(F) ;

C1

C

2

 

 

 

b) Sarcina electrica totala absorbita de cele doua condensatoare este: Qe  C e U  30(C) ;

c) Condensatoarele fiind conectate în serie, armaturile lor sunt încarcate cu aceiasi sarcina electrica: Q1=Q2=Qe=30μC;

d)

Tensiunea condensatorului C2

este: U C 2



Q2



Qe

10(V ) ;

 

 

 

 

 

C 2

C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1 Q 2

e)

Energia condensatorului C1 este: WC1 

 

 

 

Q1 U C1



 

 

C1 U C21



 

 

1

 75(j) , unde s-a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2 C1

 

tinut seama ca U C1 

Q1



Qe

 

 5(V ) (sau UC2=U-UC1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplu 1.3.2

26

Condensatoarele cu valorile C1=5μF, C2=10μF, conectate cum indica fig.1.3.12, sunt alimentate cu tensiunea constanta U=20V. Sa se determine: a) Capacitatea echivalenta a sistemului (Ce); b) Sarcina electrica absorbita de sistemul de condensatoare (Qe); c) Tensiunea la bornele condensatorului C2 (UC2); d) Sarcinile de pe armaturile condensatoarelor C1 si C2 (Q1, Q2); e) Energia totala absorbita de sistemul de condensatoare (We).

Q1 Q2

U

C1

C2

UC2

 

 

Fig. 1.3.12

Rezolvare

a) Condensatoarele fiind legate în paralel, capacitatea echivalenta este:

C e  C1 C 2 15(F) ;

b)Sarcina totala absorbita de cele doua condensatoare este: Qe  C e U  300(C) ;

c)Condensatoarele fiind conectate în paralel, ele stau sub aceiasi tensiune, egala cu tensiunea de alimentare: UC2=UC1=U=20V;

d) Sarcina condensatorului C1 este Q1  C1 U C1 100(C) iar cea a condensatorului C2 este Q2  C 2 U C 2  200(C) . De observat ca suma acestor sarcini reprezinta sarcina

totala absorbita de cele doua condensatoare, Q1+Q2=Qe=300μC. e) Energia totala absorbita de sistemul de condensatoare este:

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1 Q

2

 

W

 



 

Q

U 

 

C

U 2



 

 

 

e

 3000(j)  3(mj)

e

 

 

 

 

 

 

 

 

2

e

 

2

e

 

 

2 C e

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemplu 1.3.3

Sistemul de condensatoare din fig.1.3.13.a este format din C1=6μF, C2=3μF, C3=9μF,

C4=12μF si este alimentat cu tensiunea U=24V. Se cer: a) Capacitatea echivalenta a sistemului de condensatoare, (Ce); b) Sarcina electrica totala absorbita de sistemul de condensatoare (Qe); c) Tensiunea de pe condensatorul C3, (UC3); d) Sarcina condensatoarelor C2 si C4, (Q2, Q4); e) Energia condensatorului C1, (WC1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

UCp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C1

Q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C3

 

U

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

Cp

 

 

U

 

Qe

 

Ce

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

UC3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C4

 

 

 

 

 

 

 

C4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

 

 

 

c)

Fig. 1.3.13

Rezolvare

a)Prin transformari succesive, schema din fig.1.3.13.a se echivaleaza cu schemele din fig.1.3.13.b si fig.1.3.13.c. S-a tinut seama ca Cp=C2+C3=12(μF), condensatoarele C2 si

27

C3

fiind

conectate

în

paralel iar apoi C1, Cp si C4 conectate în serie conduc la

 

1



1



1



1



1

 

, respectiv Ce=3μF;

 

C e

C1

C p

C 4

3

 

 

 

 

 

 

b)Sarcina totala absorbita de gruparea de condensatoare este: Qe  C e U  72(C) ;

c)Cele trei condensatoare înseriate din fig.1.3.13.b sunt încarcate cu aceiasi sarcina,

Q1=Qp=Q4=Qe=72μC. Tensiunea pe condensatorul Cp

este U p



Q p

 6(V ) . Cum Cp

C p

 

 

 

 

reprezinta capacitatea echivalenta a capacitatilor C2

si C3

puse

în paralel, avem

Up=UC2=UC3=6(V).

d)Sarcina pe condensatorul C2 este: Q2  C 2 U C 2 18(C) ;

e)Energia absorbita de condensatorul C1 este:

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1 Q 2

 

 

Q

1

 

W

 



 

Q

U

 



 

C

U 2



 

 

1

 216(j) , în care s-a tinut seama ca U

 



 

12(V ) .

e

 

C1

 

 

 

 

C1

 

 

 

 

2

1

 

 

2

1

C1

 

2 C1

 

C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4. Bobina ideala

Prezenta curentului electric de conductie în conductoare produce efecte suplimentare manifestate prin actiuni ponderomotoare asupra altor conductoare parcurse de curent, asupra sarcinilor electrice mobile si asupra magnetilor permanenti. Se spune ca în jurul conductorului parcurs de curent electric ia nastere un câmp magnetic. În modul cel mai general, un câmp magnetic este produs atât de curentul electric de conductie cât si de in câmp electric variabil în timp. De asemenea exista materiale sub forma naturala sau create de om, numite magneti permanenti, care au proprietatea de a genera un câmp magnetic. Caracterizarea câmpului magnetic se face prin doua marimi vectoriale: inductia magnetica, B, a carui unitate de masura este tesla, T, si intensitatea câmpului magnetic H masurata în amper pe metru, A/m. În vid, legatura dintre cei doi vectori este data de relatia:

B   0 H

(1.4.1)

în care  0  4 10 7 Hm reprezinta permeabilitatea magnetica a vidului masurata (în S.I.) în

henry pe metru.

De exemplu pentru un fir rectiliniu, foarte lung (teoretic infinit) parcurs de curentul I, câmpul magnetic într-un punct la distanta r de fir este:

H 

I

(1.4.2)

 

2 r

 

 

O imagine intuitiva a modului de variatie a câmpului magnetic se obtine reprezentând liniile de câmp magnetic, fig.1.4.1. Linia de câmp este linia la care, în orice punct, câmpul este tangent. Pentru vectorul inductie magnetica, liniile de câmp sunt întotdeauna curbe închise.

În cazul firului rectiliniu foarte lung, liniile de câmp sunt cercuri concentrice centrate pe axa conductorului. Sensul intensitatii câmpului magnetic se asociaza cu regula burghiului drept cu sensul curentului, adica câmpul magnetic are sensul de rotire al burghiului drept pentru ca acesta sa înainteze în sensul curentului.

28

I

H

H

Fig. 1.4.1

În general, pentru câmpurile vectoriale se defineste o marime scalara, numita fluxul vectorului prin suprafata S.

 

 

B

dS

a

dS

 

 

 

S

Fig. 1.4.2

Corespunzator câmpului magnetic de inductie B, se defineste fluxul magnetic  prin

suprafata S, în forma, fig.1.4.2:

 

 

 

 

 

 

 



B dS 



B d S cos

(1.4.3)

 

 

 

 

 

 

S

 

S

 

 

 

Daca câmpul este uniform si normal pe suprafata S atunci:

 

 

 

  B S

(1.4.4)

Unitatea de masura pentru câmpul magnetic se numeste weber, Wb.

 

Fie circuitul din fig.1.4.3, practic o spira parcursa de curentul i.

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

 

 

 

 

B

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

Fig. 1.4.3

Raportul dintre fluxul magnetic printr-o suprafata marginita de conturul spirei si curentul care-l produce este o marime independenta de starile câmpului magnetic, numita inductivitatea sau inductanta spirei:

29

L 



(1.4.5)

i

 

 

Unitatea de masura pentru inductivitate este henry (H).

Inductivitatea circuitului (spirei) nu depinde de fluxul magnetic si de curentul prin circuit fiind determinata doar de forma si dimensiunile circuitului.

Orice circuit are o inductivitate, mai mica sau mai mare; dispozitivul construit special pentru a avea o anumita inductivitate se numeste bobina. Ea consta dintr-un bobinaj realizat prin înfasurarea unui conductor, de regula izolat, în unul sau mai multe straturi, pe o carcasa din material izolant, fig.1.4.4.

N

H

I

I

Fig. 1.4.4

Cel mai important parametru al bobinei este inductivitatea bobinei.

Bobina este considerata ca fiind formata dintr-o succesiune de spire (circuite filiforme). Inductivitatea bobinei reprezinta raportul dintre fluxul total care înlantuie bobina, egal cu suma fluxurilor corespunzatoare fiecarei spire a bobinei produse de curentii din toate spirele, si curentul care trece prin bobina.

L 



(1.4.6)

i

 

 

Fluxul prin spirele bobinei difera de la o spira la alta. Daca se presupune ca toate spirele bobinei sunt parcurse de acelasi flux, F, numit flux fascicular, atunci inductivitatea bobinei se scrie în forma:

L  N



(1.4.7)

i

unde N este numarul de spire al bobinei. Inductivitatea bobinei depinde de forma si dimensiunile bobinei si de natura materialului introdus în bobina (miezul bobinei).

Relatiile care exprima inductivitatea unei bobine în functie de parametrii acesteia sunt de regula complicate. Un caz simplificat este cel al unei bobine de lungime l mult mai mare decât diametrul spirelor, la care se poate aproxima câmpul magnetic produs de curentul ce trece prin el ca fiind constant, fig.1.4.5, având valoarea:

H 

N i

 

 

 

(1.4.8)

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

Fluxul fascicular printr-o suprafata (spira) a bobinei este:

 

  B S  0 H S  

 

N i S

(1.4.9)

0

 

 

l

 

 

 

 

 

iar inductivitatea devine:

 

 

 

 

 

 

L 

N 

 

 

N 2 S

(1.4.10)

i

0

l

 

 

 

 

 

 

 

30

N

I

H S

l

Fig. 1.4.5

Pentru a mari inductivitatea la dimensiunile geometrice date ale unei bobine, se introduce în interiorul carcasei bobinei un material feromagnetic (miezul bobinei). Materialele feromagnetice sunt caracterizate din punct de vedere magnetic printr-o marime de material,  ,

numita permeabilitatea magnetica:

 

 

   0  r

H m ,

(1.4.11)

unde r este permeabilitatea relativa a materialului (marime adimensionala care de obicei se da dub forma tabelara).

Inductivitatea creste de r ori fata de inductivitatea corespunzatoare aceleiasi bobine fara miez deoarece în acest caz B  0 r H   H . Pentru cazul bobinei lungi, având în vedere

prezenta miezului, relatia (1.4.10) devine:

L  

 



 

N 2 S

 

N 2 S

(1.4.12)

0

r

l

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

La materiale feromagnetice, cum ar fi fierul si diferite aliaje ale acestuia, r poate lua valori foarte mari, r  (102  104). Însa la aceste materiale permeabilitatea magnetica depinde de marimea câmpului magnetic, iar inductivitatea bobinei cu miez feromagnetic depinde de curent, în special la valori mari ale acestuia; se spune ca în acest caz bobina este un element neliniar.

În circuitele electrice se opereaza cu bobina ideala, a carui diferite simboluri grafice acceptate sunt prezentate în fig.1.4.6:

ï‚·a), b) pentru bobina ideala cu inductivitate constanta;

ï‚·c) pentru bobina ideala cu miez cu inductivitate constanta;

ï‚·d), e) pentru bobina ideala cu inductivitate variabila;

ï‚·f) pentru bobina ideala cu miez si inductivitate variabila.

UL i

UL i

UL i UL

i

UL i

UL i

dl

 

 

 

 

 

(C)

 

 

 

 

 

L

L

L

L

L

L

a)

b)

c)

d)

e)

f)

 

 

Fig. 1.4.6

 

 

 

Bobina ideala este un element ideal de circuit în lungul caruia tensiunea în sens larg (si tensiunea imprimata) sunt nule. Avem:



E dl 



V dl 



E s dl V1 V 2 u e  0

(1.4.13)

 

 

 

 

C

 

C

 

C

 

 

si notând u L V1 V 2 se obtine: u L  u e , unde ue este tensiunea indusa în bobina.

31

Când bobina nu este cuplata cu alte bobine, atunci, din legea inductiei electromagnetice, rezulta u e  L dd ti si ca urmare tensiunea pe bobina este:

u L  L

d i

(1.4.14)

d t

 

 

în care L reprezinta inductivitatea bobinei.

Deoarece tensiunea la bornele bobinei se obtine prin derivarea curentului, se spune ca bobina este un element derivator.

De remarcat ca în circuite de curent continuu, când marimile câmpului nu variaza în timp, i=ct. si deci uL=0, bobina se comporte ca un scurtcircuit.

Bobina nu înmagazineaza energie electrica, dar datorita existentei câmpului magnetic în miezul acesteia, înmagazineaza energie magnetica. Energia magnetica înmagazinata în bobina este:

 

1

 

1

Li 2

 

1



2

 

W m 

i 



 

(1.4.15)

2

2

2

L

 

 

 

 

 

În cazul bobinei reale trebuie avut în vedere si rezistenta conductorului din care este realizata înfasurarea bobinei. O schema echivalenta a bobinei reale este prezentata în fig.1.4.7, când tensiune la bornele bobinei este:

u b  u R u L  i R  L

d i

(1.4.16)

d t

 

 

bobina reala

UR

UL

i

 

Rb

L

Ub

 

Fig. 1.4.7

Exemplu 1.4.1

Un cadru dreptunghiular având laturile a=10cm, b=5cm este plasat într-un câmp magnetic uniform având intensitatea H=104A/m, care face un unghi a=300 cu normala la planul cadrului. Sa se determine fluxul ce strabate cadrul (F).

Rezolvare:

Câmpul magnetic fiind uniform, intensitatea sa are aceiasi valoare în orice punct si formeaza acelasi unghi a cu normala la planul cadrului. Ca urmare:

 

BdS  B d S cos  B cos

dS  B abcos  

0

H abcos  5.4410 5

(Wb)

S

S

S

 

 

 

 

 

Exemplu 1.4.2

Un solenoid format dintr-o înfasurare având N=1000 spire are lungimea l=25cm si sectiunea S=2cm2. Sa se determine: a) inductivitatea solenoidului când mediul din solenoid este aerul (L0); b) inductivitatea solenoidului când în locul aerului se introduce un miez feromagnetic cu permeabilitatea relativa μr=500 (Se va considera câmpul magnetic aproximativ uniform în punctele din solenoid).

32

Rezolvare:

a) Inductivitate solenoidului cu mediu aer este: L

 

 

 

N 2 S

10

3

(H ) 1mH ;

0

0

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) În cazul introducerii mediului feromagnetic inductivitatea creste fata de L0: L  0  r N l2 S   r L0  0.5 (H )

Exemplu 1.4.3

O bobina cu înfasurare într-un singur strat are inductivitatea L1=10mH. Sa se calculeze inductivitatea L2 a bobinei dupa completarea înfasurarii cu un al doilea strat, cuprinzând un numar de spire egal cu al primului. Se neglijeaza grosimea înfasurarilor în raport cu diametrul bobinei si se considera lungimea bobinei mult mai mare decât diametrul ei.

Rezolvare:

 

 

 

 

 

 

 

 

Inductivitate bobinei cu înfasurarea într-un singur strat este: L1

 

N 2

S

10 (mH) ,

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iar inductivitatea bobinei cu înfasurarea în dublu strat va fi:

L2

 

2 N 

2 S

. Ca urmare:

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L2  4 L1  40mH

Exemplu 1.4.4

Fie un conductor rectiliniu, foarte lung, parcurs de curentul I=10A. In planul conductorului, la distanta b=20cm de conductor se afla plasat un cadru dreptunghiular, cu dimensiunile a=20cm si h=30cm, cum indica fig.1.4.8. Sa se determine: a) intensitatea câmpului magnetic si inductia magnetica într-un punct situat la distanta d=1cm de conductor (H0, B0); b) fluxul magnetic ce strabate cadrul (F).

I=10A

H

 

d

B

 

 

r

dr

 

 

H

 

 

h=30cm

 

 

dS

 

b=20cm

a=20cm

Fig. 1.4.8

Rezolvare

a) Intensitatea câmpului magnetic într-un punct aflat la distanta d de conductor este:

 

I



A 

 

I

 

 

 

4

T .

H 

 

159.155

 

 iar inductia magnetica B  

0

 

 

0

H  210

 

 

 

 

 

 

2 d

 m 

 

2 d

 

 

 

 

 

 

 

 

33

 

 

 

 

 

 

 

b)La calculul fluxului magnetic ce strabate cadrul se are în vedere ca în orice punct din suprafata cadrului câmpul magnetic este ortogonal pe suprafata cadrului. Pe baza regulii burghiului drept aplicata sensului curentului I, în punctele cadrului câmpul magnetic intra în planul cadrului, cum indica fig.1.4.8. Pentru a obtine un flux pozitiv, elementul de suprafata al cadrului se alege în sensul câmpului magnetic, deci intra si el

în planul cadrului. Astfel:

  B dS  B d S

S S

Câmpul magnetic are aceiasi valoare în puncte egal departate de axul conductorului, deci are doar o variatie radiala (dupa r), fapt pentru care elementul de suprafata al cadrului se scrie in forma: dS  hdr . Astfel:

ba

 

 

I

 

I h

ba dr

 

 

I h

b  a

 

  B d S  b



0

 

h dr  

 

 

b

 



0

 

ln

 

 4.159 10 7 (Wb)

2 r

0 2

r

2

b

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5. Bobine cuplate magnetic

Exista situatii când avem mai multe bobine apropiate una de alta, parcurse de curenti, când, fluxul magnetic total al unei bobine (înlantuirea bobinei) este determinata nu numai de curentul din bobina respectiva, ci si de curentii din celelalte bobine. Se spune ca bobinele sunt cuplate magnetic, iar tensiunea la bornele bobinei este diferita de cazul când nu intervine cuplajul, data de relatia (1.4.14).

Fie doua bobine cu N1 si N2 spire parcurse de curentii i1 si i2, fig.1.5.1.

 

 

N1

N2 i2=0

 

 

 

 

i1=0 N1

N2

 

 

 

 

i1

 

 

 

 

 

 

i2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 



 





 



 





 

11





12

21





22

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 



 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

a)

 

 

 

 

 

 

b)

 

 

Fig. 1.5.1

Presupunem ca exista numai curentul i1 care produce fluxul propriu F11 prin bobina 1, din care o parte, fluxul util F12, strabate si bobina 2, fig.1.5.1.a. Similar daca doar bobina 2 este strabatuta de curentul i2, (i1=0), acesta produce fluxul propriu prin bobina 2 din care o parte, fluxul F21, strabate si bobina 1, fig.1.5.1.b.

Pentru sensurile curentilor i1 si i2 din cele doua figuri, fluxul F21 a rezultat în acelasi sens cu F11, la fel cum F12 este în acelasi sens cu F22. Spunem ca avem un cuplaj magnetic aditiv. Daca se schimba unul din sensurile curentilor sau unul din sensurile de înfasurare (de exemplu pentru bobina 2), rezulta F21 de sens opus cu F11 si F12 de sens opus cu F22. Spunem ca avem un cuplaj diferential.

Daca ambele bobine sunt parcurse de curenti, vom avea o superpozitie a celor doua

cazuri particulare anterioare, înlantuirea magnetica a primei bobine fiind:

 

1  N1 11  21  L1 i1  L21 i 2

(1.5.1)

în care pe lânga inductivitatea proprie L1 intervine si inductivitatea mutuala (de cuplaj) L21. Semnul este + sau – dupa cum cuplajul este aditiv sau diferential.

Similar pentru bobina doi avem:

 

 

2  N 2  22 12

 L2 i 2  L12 i1

(1.5.2)

 

34

 

Pentru bobine liniare L12=L21 si se obisnuieste ca inductivitatea mutuala sa se noteze cu M. În schemele electrice pentru a preciza tipul cuplajului nu se fac schite explicite de tipul celor din fig.1.5.1, ci se adopta urmatoarea conventie: se marcheaza una din cele doua borne ale fiecarei bobine cuplate (numita borna de început a înfasurarii) si daca curentii au acelasi sens fata de bornele marcate atunci cuplajul este aditiv, iar daca au sens contrar cuplajul este diferential. De exemplu bobinele cuplate din fig.1.5.2.a dau un cuplaj aditiv, curentii având acelasi sens fata de bornele marcate, pe când curentii au sensuri opuse fata de bornele marcate ale bobinelor din fig.1.5.2.b, cuplajul fiind diferential.

i1

i2

i1

i2

 

L12

 

 

u1 L1

L2 u2

u1 L1

L12 L2

 

a)

 

b)

Fig. 1.5.2

Tensiunea la bornele bobinelor cuplate difera de tensiunea bobinelor tensiunea bobinei 1 este:

u L1



d 1

 L1

di1

 L

 

di 2

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

dt

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

iar tensiunea bobinei 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u L 2



 

d 2

 L2

di 2

 L12

 

di1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2

necuplate. Astfel

(1.5.3)

(1.5.4)

În general, daca o bobina de inductivitate proprie Lk este cuplata magnetic cu mai multe bobine prin intermediul inductivitatilor de cuplaj Lλk, atunci tensiunea la bornele bobinei se scrie în forma:

u L k 

d k

 Lk

di k

  Lk

di 

,   k

(1.5.5)

dt

dt

dt

 

 

 

 



 

 

 

în care semnul + apare pentru cuplaj aditiv iar semnul – pentru cuplaj diferential.

35